三个重难点题型 4道经典例题 15道针对训练
《第十七章 勾股定理》专题复习
知识结构图
重难点1 勾股定理的证明
例1. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.
不为失败找理由，要为成功找方法。
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∴S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b＋ab.
22
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB
11
＝c2＋a(b－a)， 221111
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)． 2222∴a2＋b2＝c2.
图
1 图2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
【方法指导】
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积． 针对练习：
1.利用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 解答下列问题：
(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：_____________；方法2：_____________.
(2)根据图2，利用图形的面积关系，推导a，b，c之间满足的关系
不为失败找理由，要为成功找方法。
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式．
(3)利用(2)中的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且(a＋b)2＝49，求阴影部分的面积．
重难点2 勾股定理及其逆定理
例2. 如图，每个小正方形的边长为1. (1)求四边形ABCD的周长； (2)求证：∠BCD＝90°.
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明． 【方法指导】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明． 针对练习：
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在
AB上，AD＝BD，若AC＝3，BC＝4，则CD的长
是( )
12552A. B. C. D. 51225
3．△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a2＝(b＋c)(b－c)；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a∶b∶c＝5∶12∶13.其中能判断△ABC是直角三角形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
不为失败找理由，要为成功找方法。
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4．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是 ． 5．若a，b，c满足(a－5)2＋|b－12|＋（c－13）2＝0，则以a，b，
c为边的三角形面积是 ． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，D是AB上一点，且CD＝12 cm，BD＝8 cm.
(1)求证：△ADC是直角三角形； (2)求BC的长。
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D的运动速度为每秒1个单位长度．
(1)当t＝2时，求CD的长；
(2)求当t为何值时，线段BD最短．
重难点3 勾股定理的应用
例3. 如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
不为失败找理由，要为成功找方法。
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三个重难点题型 4道经典例题 15道针对训练
【思路点拨】 运用“两点之间，线段最短”先确定出P点在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的长． 【方法指导】
解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P点的位置，会构造Rt△AB′E，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范． 例4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
【方法指导】
方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程求线段长度． 针对练习：
8.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
A.3 B.5 C.6 D.7
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”， 当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为( ) A．4 B．4π C．8π D．8
不为失败找理由，要为成功找方法。
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勾股定理专题复习(附答案)分类导学案【精品】
