2020年湘教版中考数学总复习资料

由天下分享时间：2025/6/1 17:57:14 加入收藏我要投稿点赞

ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．

解：略

例题3如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB

坝底宽AD(精确到

0.1m)．

分析：坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：

1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件； 2．坡度问题计算量较大，学生易出错；

3．常需添加辅助线将图形分割成直角三角形和矩形．

几何部分

第六章：圆

知识点：

一、圆 1、圆的有关性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆 l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例如图6—1，连EF后，可得： ∠DEF＝∠B

∠DEF＋∠A＝180°

∴∠A＋∠B＝18ry ∴BC∥DA

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交?d＜r；直线和圆相切?d＝r；直线和圆相离?d＞r；直线和圆相交?d＜r

例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆O相切，r＝d 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d

八、切线的判定和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径

的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。 ∠B＝90°

则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC

九、三角形的内切圆

要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ∵分角线上的点到角的两边距离相等。

∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6

B、C为切点，O为圆心。 AB＝AC，∠1＝∠2 十一、弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

例如图6－7，AB为切线，

则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D ∴∠C＝∠D

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点

则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2 EM·MD=BM·MG CN·NH=DN·NE

十三、圆和圆的位置关系如图6－9 若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：

1、两圆外离?d ＞R＋r； 2、两圆外切?d = R＋r；

3、两圆相交?R－r＜d＜R＋r（R＞r）

4、两圆内切?d = R－r；（R＞r） 5、两圆内含?d＜R－r。（R＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。如图6－10，O1，O2为圆心，

则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。 d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，

又如图 6－13， OO1C为直角三角形。 d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。

十五、相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14

十六、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

360? 正n边形的每个中心角等于

n 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。十七、正多边形的有关计算

(n?2)180? 正n边形的每个内角都等于

n 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。十八、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法；二十、圆周长、弧长

n?R 1、圆周长C＝2πR；2、弧长L?

180 二十一、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：S??R2；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

n?R2 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形?