百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．
知识点一 函数的零点概念 思考 函数的“零点”是一个点吗？
梳理 概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的__________． 方程、函数、图像之间的关系：
方程f(x)＝0______________?函数y＝f(x)的图像________________?函数y＝
f(x)__________．
知识点二 零点存在性定理
思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可11119
以求出f()＝lg ＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg 1＋1＝1.
1010101010那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间?
梳理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是______________，并且在区间端点的函数值符号相反，即________________，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．
?1，1?内有零点吗？
??10?
1
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类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)－lg x的零点为________．
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 函数f(x)＝(x－1)(x＋2)(x－2x－3)的零点个数是________．
类型二 判断函数的零点所在的区间
例2 根据表格中的数据，可以断定方程e－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x2
2
2
2
x e x－1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.40 4 3 20.12 5 x＋2 A.(－1,0) C．(1,2)
B．(0,1) D．(2,3)
反思与感悟 在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
类型三 函数零点个数问题 命题角度1 判断函数零点个数
例3 求函数f(x)＝2＋lg(x＋1)－2的零点个数．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零2
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点的个数．
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
命题角度2 根据零点情况求参数范围
例4 f(x)＝2·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞)
B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞)
x反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4 若函数f(x)＝x＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数
2
m的取值范围是( )
A．(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞) B．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞) 51C．[－，－] 6251D．(－，－) 62
3
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1．函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．x＝0 C．x＝1 D．不存在 2．函数f(x)＝x－2x的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
3．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 4．下列各图像表示的函数中没有零点的是( )
2
1x3
5．函数f(x)＝x－()的零点有( )
2A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础． 4
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答案精析
问题导学 知识点一
思考 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
梳理 横坐标 有实数根 与x轴有交点 有零点 知识点二
思考 能．因为f(x)＝lg x＋x在区间?在?
?1，1?内是连续的，函数值从－9变化到1，势必
?10?10?
?1，1?内某点处的函数值为0.
??10?
梳理 连续曲线 f(a)·f(b)<0 题型探究
例1 x＝1或x＝10 解析 由(lg x)－lg x＝0， 得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10. 跟踪训练1 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋1)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个．
例2 C [令f(x)＝e－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，
xf(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程e－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]
x2
2
2
2
跟踪训练2 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数， ∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点． ∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，
f(2)＝6－7＋ln 2<0， f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2. 例3 解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
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2017_2018版高中数学第四章函数应用1_1利用函数性质判定方程解的存在学案北师大版必修1
