年级________；层次________；专业________；姓名________
高等数学模拟卷 一 求下列极限 1 lim1
1sinn n??n?sinn?1 lim2 求lim
x?0
11?0 ? limsinn?0 n??nn??nx
xlim?1x?xxx?0??1
x?0lim?xx?1 ?lim
x?0
x
不存在 x
3 求lime
x?0?
x?0?lime???,
1xx?0?lime?0 ?lime不存在
x?01x1x4limx?0x?sinxx?sin5x
1?
sinxx?1 原式=limx?0sin5x1?x?exx?0af(x)?取什么值，连续 ?二
a?xx?0?解：i) x?0，x?0时，f(x)均连续
ii)x?0时，f(0)?a f(0?0)?1 f(0?0)?a
所以a?1时f(?0)?f(0)?1，
f(x)在x?0处连续
综上所述，a=1时f(x)连续
三 计算下列各题
复习资料，自我完善，仅供参考，考完上交！
年级________；层次________；专业________；姓名________
1 已知y?2sinx?lnx 求y,
1? y?2cosxlnx?2sinx?解：x 2 已知y?f(e)?exf(x)，求y,
xxf?x?xf?x?f?x?xxx??????y?efee?fefxe?eefe?fef??x? 解：
??????????3求?xexdx
21x221x2x2xedx?edx?e?c ?解： ?22x?ydy2四、若2x?tan(x?y)??sectdt，求
0dx解：两边对x求导，其中y是x的函数
2?sec2(x?y)?(1?y')?sec2(x?y)?(1?y') 2sec2(x?y)?(1?y')?2
(1?y')?'1 2sec(x?y)22所以y?1?cos(x?y)?sin(x?y) 五 求y?x，y?2x和y?x所围平面图形的面积 解：
2A??(2x?x)dx??(2x?x2)dx0112121?213?2?x??x?x?20?3?1181??4??1?2337?6
高等数学模拟卷 2
一 求下列极限
1 1 limcosn
n??n复习资料，自我完善，仅供参考，考完上交！
年级________；层次________；专业________；姓名________
? cosn?1, lim2 求limx?211?0 ? limcosn?0 n??nn??n2?x2?x
? lim?x?22?x2?x1
x
?lim?x?22?x2?xx?2??1, lim??1 ?lim不存在
x?2x?22?x2?x2?x3 求lim2
x?0
? lim?2?2x?01x1x?0?xlim???, lim?2?2x?01x1x?0?xlim?0 ? lim2不存在
x?0
1x
4求limx?0x?2sinxx?3sinx
sinxx?3 原式=limx?0sinx41?3x1?2讨论?sinx?f(x)??x?0?x?0二x?0x?0在 x=0 处的连续性
解： ? lim?f?x??sinxsinx?1 lim?f?x???1
x?0xx ? f?x?在x?0处不连续，0点为可去间断点。
三 计算下列各题
1 y?ln[ln(lnx)]求y,
?解：y?2 x?y求y,
yx,111??
ln?lnx?lnxx解： 两边取对数：ylnx?xlny
?两边分别求导：ylnx?y?? 整理得：y?1x?lny??y? xy?y?xlny?y
x?x?ylnx?复习资料，自我完善，仅供参考，考完上交！
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四求limx?0x??cost2dt02x2sin10xx??cost2dt02x2解原式?limx?0x102x?2x?cosx4?limx?010x91?cosx4?limx?050x84x3sinx41?lim? 7x?040x10
五 求y?2x?5和y?x?4所围平面图形的面积 解：
2A?2?202xdx??80?2x?(x?4)dx
??2?2?2?331?8xx??2?xx?x2?4x?0?222?2
?12?6?32?32?18 六 (x?1)2dy?2xy?4x2 dx2x 1?x2解：此方程为一阶非齐次线性微分方程
P(x)?4x2Q(x)?2
x?1y?e?1?x2dx?2x4x2?1?x2dx14(?2edx?c)?2(c?x3) x?1x?132x所以原方程通解为
y?143(c?x) 2x?13高等数学模拟卷3
一 求下列极限 1 1 limtgn
n??n复习资料，自我完善，仅供参考，考完上交！
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不存在 2 求limx?ax?ax?a
x?a?lim??1, ? lim?x?ax?ax?ax?a ?limx?ax?ax?alim?x?ax?a?lim?x?aa?x??1, x?ax?ax?a不存在
3 求limex?012x
12x12x? lim?ex?012x???,
x?0?lime?0 ? limex?0不存在
4limsinmxx?0sinnx
原式=limsinmx?mxnxmxm??lim?
x?0mxsinnx?nxx?0nxn?xf(x)??2?xx?0x?0，讨论f（x）在x?0处的导数
二已知解： f???0??1, f???0??0, ? f?x?在x?0处不可导。 三 计算下列各题
1、已知y?tan(lnx)求y
解：y??3tan?lnx??sec?lnx??223,1 x2、已知y?f(x)，求y 解：y??2xf?x四 证明 证明：
对于
22,??
2??a0a01a2xf(x)dx??xf(x)dx，(a?0)，其中f(x)在讨论的区间连续。
0232x3f(x2)dx
令x?t，则2xdxd?dt
2且x?a时t?a，x?0时t?0
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左边??x3f(x2)dx0a1a2??tf(t)dt201a2??xf(x)dx20
五 计算反常积分
= 右边 证毕。
dx???1?x2;
??解
原式?? dx???????arctanx?????;????????1+x22?2???
六 求(1?y)dx?(arctany?x)dy的通解 解：方程化为
2dx11?x?arctany dy1?y21?y2此方程为倒线性微分方程
x?e??1?y2dy1?1?y2dy1(?arctanyedy?c) 1?y21arctanyearctanydy?c) 21?y1?e?arctany(??e?arctany(?arctanydearctany?c)
?e?arctany(arctanyearctany?earctany?c)
所以方程通解为x?ce
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?arctany?arctany?1
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高等数学四 一 求下列极限
1 lim1x??xsinx
=0 2 求limx?1x?1x?1
解：? limx?1x?1?x?1?lim1?xx?1x?1x?1?x?1??1
limx?1?x?1?limx?1?x?1?1 1? limx?1x?1e不存在
13 求limx?1x?1e
解： ? lim1x?1?x?1??? lim1x?1?x?1???
1? limx?1x?1e不存在
cosx
4求lim1?x?0x2
解： lim1?cosxx?0x2?limsinxx?02x?12
二求lim?n???1?n2?1?11?n2?2?L?n2?n? ?解
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：
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11?????222?nn????n?n??????n????n??n项11n2?1?1n2?2???1n2?n?111????n??n????n?n项
又 lim1n?n2n???=1 lim1?1
n?? 故 lim?n???12?n?n?1n2?n??????1 2n?n?1
三 计算下列各题
1 已知y?ln(x?x2?a2)求y，
解122解
y'?x?x?a1?x2?a2(1?xx?a22)
2 y?解：
1lny?[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)]
33(x?1)(x?2)，求y'
x?31'1111y?(??) y3x?1x?2x?3y'?13(x?1)(x?2)111(??)3x?3x?1x?2x?3
3求12?xlnxdx??ln2xdlnx 1?ln3x?c3 解原式
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?20?0四 证明?f(sinx)dx??2f(cosx)dx
证：
?对于?2f(sinx)dx
0令x??2?t，dx??dt
且x?0时t??0?2，x?
0?2
时t?0
?0所以?2f(sinx)dx????f(cost)dt??2f(cosx)dx
2 五 计算?1?dx1?xdx1?x220.
解 函数1?在?0,1?上连续，1是它的一个瑕点.
1??
dx1?x20??arcsinx?0??2.
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山大网络教育高起专—高等数学
