ex1e2因为单调递增，对任意??(,],存在唯一的x0?(0,2],a?f(x0)?[0,1),
x?2241e2使得h(a)??,所以h(a)的值域是(,],
241e2综上，当a?[0,1)时，g(x)有h(a)，h(a)的值域是(,].
247、已知函数f(x)?ax?ax?xlnx，且f(x)?0． （1）求a；
（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?22?f(x0)?2?2．
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（2）由（1）知 f?x??x?x?xlnx，f'(x)?2x?2?lnx．
21． x11当x?(0,) 时，h'(x)?0 ；当x?(,??) 时，h'(x)?0，
2211所以h?x?在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增．
22111又h?e?2??0，h()?0，h?1??0，所以h?x?在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯一零点1，
222设h?x??2x?2?lnx，则h'(x)?2?且当x??0,x0?时，h?x??0；当x??x0,1?时，h?x??0，当x??1,???时，h?x??0． 因为f'(x)?h?x?，所以x?x0是f?x?的唯一极大值点． 由f'(x0)?0得lnx0?2?x0?1?，故f?x0??x0?1?x0?． 由x0??0,1?得f?x0??1． 4因为x?x0是f?x?在（0，1）的最大值点，
?1?1?2由e??0,1?，f'(e)?0得f(x0)?f(e)?e．
?1所以e?2?f?x0??2?2．
ax2?x?18、已知函数f?x??．
ex⑴求由线y?f?x?在点?0，?1?处的切线方程； ⑵证明：当a≥1时，f?x??e≥0．
(2ax?1)e?(ax?x?1)e?ax?2ax?x?2ax2?x?1?f(x)??解答：（1）由题意：f?x??得，
ex(ex)2ex∴f?(0)?x2x22?2，即曲线y?f?x?在点?0,?1?处的切线斜率为2，∴y?(?1)?2(x?0)，即12x?y?1?0；
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（2）证明：由题意：原不等式等价于：ex?1?ax2?x?1?0恒成立；令g(x)?ex?1?ax2?x?1，
x0?1x?1?2ax0?1?0，即e0??2ax0?1，
∴g?(x)?ex?1?2ax?1，g??(x)?ex?1?2a，∵a?1，∴g??(x)?0恒成立，∴g?(x)在(??,??)上单调递增，∴g?(x)在(??,??)上存在唯一x0使g?(x0)?0，∴ex0?1且g(x)在(??,x0)上单调递减，在(x0,??)上单调递增，∴g(x)?g(x0).
又g(x0)?e?ax02?x0?1?ax02?(1?2a)x0?2?(ax0?1)(x0?2)，
111?1?11ag?(?)?e?1，∵a?1，∴0?ea?1?e?1，∴x0??，∴g(x0)?0，得证.
aa综上所述：当a?1时，f?x??e?0.
9、已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.证明： （1）f(x)存在唯一的极值点；
（2）f(x)?0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
1111(x?0)，设g(x)?lnx?，g?(x)??2?0 xxxx11则g(x)在(0,??)上递增，g(1)??1?0，g(2)?ln2??lne??0，
22所以存在唯一x0?(1,2)，使得f?(x0)?g(x0)?0，
解答：（1）f?(x)?lnx?当0?x?x0时，g(x)?g(x0)?0，当x?x0时，g(x)?g(x0)?0， 所以f(x)在(0,x0)上递减，在(x0,??)上递增，所以f(x)存在唯一的极值点. （2）由（1）知存在唯一x0?(1,2)，使得f?(x0)?0，即lnx0?1， x0f(x0)?(x0?1)lnx0?x0?1?(x0?1)11?x0?1??(x0?)?0， x0x011132222f(e)?2(e?1)?e?1?e?3?0， )?(?1)(?2)??1?1??0，2222eeee所以函数f(x)在(0,x0)上，(x0,??)上分别有一个零点. f(设f(x1)?f(x2)?0，f(1)??2?0，则x1?1?x0?x2， 有(x1?1)lnx1?x1?1?0?lnx1?x1?1， x1?1x2?1， x2?1(x2?1)lnx2?x2?1?0?lnx2?设h(x)?lnx?x?11，当0?x,x?1时，恒有h(x)?h()?0， x?1x则h(x1)?h(x2)?0时，有x1x2?1.
10、已知函数f?x??mx??x?1?e?1?m?R?.
2x（1）讨论函数f(x)的单调性；
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23（2）证明：当x??,1?时，f?x??mx?x xx【详解】（1）f??x??2mx?xe?xe?2m.
?1??3???①当m?0时，令f??x??0，得x?0；令f??x??0，得x?0， 故f?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增. ②当m?0时，令f??x??0，得x?0或x?ln??2m?. 当m??当?1x时，f??x??x?e?1??0，故f?x?在R上单调递增. 21?m?0时，令f??x??0，得x?0或x?ln??2m?；令f??x??0，得ln??2m??x?0， 2即f?x?在ln??2m?,0上单调递减，在??,ln??2m?，?0,???上单调递增. 当m??????1时，令f??x??0，得x?0或x?ln??2m?；令f??x??0，得0?x?ln??2m?， 2即f?x?在0,ln??2m?上单调递减，在???,0?，ln??2m?,??上单调递增. （2）设F?x??f?x??mx?x??x?1?e?x?1，
23x3????则F??x??e??x?1?e?3x?xe?3x，
xx2x??设??x??e?3x，则???x??e?3，
xx?1??1??x?,1?x?x?e?3?0∵，∴??在?,1?上单调递减， ??，∴???3??3?又?????1??3?3e?1?0，??1??e?3?0，
∴??x?在?,1?内存在唯一的零点，设为x0. 则当
?1??3?1?x?x0时.??x??0，F??x??0，F?x?单调递增； 313当x0?x?1时，??x??0，F??x??0，F?x?单调递减， 又F?1??26?2e?26?18e?0，F?1??0，
??13?3?27327∴F?x??0在x??,1?上成立，
?1??3??1?23x?∴当?,1?时，f?x??mx?x.
?3?
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虚设零点法 培优练习(含解析)
