2013年中考模拟试题
24．(本小题满分10分)
己知：如图10．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。 （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点
15（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。
2PAEOFBDC
25．(本小题满分10分)
3 已知抛物线y?x2?mx?m2(m?0)与x轴交干A、B两点。
4（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左恻： （2）若
112?? (O为坐标原点)，求抛物线的解析式； OBOA3（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C D B A B C B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
题号 答案 11 12 3 13 15 14 4或2 15 n(n?2) 23 三、解答题（本大题共10小题，共75分.） 16.（本小题满分6分）
11解：原式= ?3?2? （3分）
227 = ?1 （5分）
25 = （6分）
217.（本小题满分6分）
解：解不等式?3x?6 得x??2 （2分） 解不等式2?x?5得x?3 （4分） ∴原不等式组的解集是：?2?x?3 （6分） 18.（本小题满分6分）
解：按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3，所有可能结果的总数为8. （1分） （1）指针指向红色的结果有2个， ∴ P(指针指向红色)=（2）指针指向黄色或绿色的结果有3+3 = 6个 ，
∴ P(指针指向黄色或绿色)?19.（本小题满分7分）
(a?2)(a?2)a?21a2?41?(?) （3分） ?(1?)=解:
a?3a?2a?2a?3a?263? （6分） 8421? （3分） 84 数学试卷 第 5 页 （共 7 页）
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=
(a?2)(a?2)a?3? （4分）
a?3a?2 =a?2 （5分） 当a??3时，原式=a?2=?3?2??1 （7分）
20.（本小题满分7分）
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD=CB， （1分） ∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA （2分） 又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC （4分） （2）∵∠DEB = 140?
由△BEC≌△DEC可得∠DEC =∠BEC=140??2=70?， （5分） ∴∠AEF =∠BEC=70?， （6分） 又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB=90? ∴∠DAC =∠BAC=90??2=45?， 在△AEF中，∠AFE=180?— 70?— 45?=65? （7分） 21.（本小题满分7分）
解：设原计划平均每天修绿道x米，依题意得
18001800??2 （3分） x(1?20%)x 解这个方程得：x?150（米） （5分）
经检验，x?150是这个分式方程的解，∴这个方程的解是x?150 （6分） 答：原计划平均每天修绿道150米． （7分） 22.（本小题满分8分）
解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．（1分） ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=OC=BO=OD （3分） ∴四边形OCED是菱形． （4分） （2）∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60° 又∵OD= OC， ∴△OCD是等边三角形 （5分）
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A O F B
图8
D E
C
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1过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC= 2x，AC=4x
2在Rt△DFC中，tan 60°=
DF ∴DF=FC? tan 60°?3x （6分） FC由已知菱形OCED的面积为83得OC? DF=83，即2x?3x?83 （7分） ， 解得 x=2， ∴ AC=4?2=8 （8分） 23.（本小题满分8分）
解：（1）将点B（?1，0）代入y?x?b得：0??1?b ∴b=1. （2分）
∴一次函数的解析式是y?x?1 （3分）
∵点A（1，n）在一次函数y?x?1的图象上，将点A（1，n）代入y?x?1得：
n=1+1，∴n=2 （4分）
即点A的坐标为（1，2），代入y?∴反比例函数的解析式是y?（2）对于反比例函数y?kk得：2?，解得：k?2 （5分）
1x2 （6分） x2，当x?0时，y随x的增大而减少， x1
（7分） 3
而当x?1时，y?2；当x?6时，y?
1∴当1?x?6时，反比例函数y的取值范围是?y?2 （8分）
324.（本小题满分10分）
（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD （1分） ∴∠DAC =∠DBA （2分） （2）∵AB为直径，∴∠ADB=90° （3分） 又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90° ∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP （4分） ∴PD=PA （5分） 又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC
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∴∠PDF=∠PFD （6分） ∴PD=PF ∴PA= PF，即P是线段AF的中点 （7分） （3）∵∠DAF =∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°
∴△FDA ∽△ADB （8分） ∴
ADAFDB?AB 15∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD=ADAF3DB?AB?210?4 即tan∠ABF=34 25.（本小题满分10分） （1）证明：∵m?0 ∴x??b2a??m2?0 （1分） ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧 （2分）（2）解：设抛物线与x轴交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则x31?x2??m?0，x1?x2??4m2?0
∴x1与x2异号 （3分） 又
1OB?1OA?23?0 ∴OA?OB 由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧
∴x1?0，x2?0 ∴OA?x1??x1,OB?x2 代入
11OB?OA?23得： 1x?1?1x?1?2即 2?x12x13x1?x2x?2，从而?m21?x23?3?
m234解得：m?2
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（9分） （10分）4分） 5分）
（（2013年中考模拟试题
∴抛物线的解析式是y?x2?2x?3 （6分） （3）解法一：
33当x?0时，y??m2，抛物线与y轴交点坐标为C（0，?m2）
44∵?ABC是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB， ∴∠CAB= 90°— ∠ABC，∠BCO= 90°— ∠ABC ∴∠CAB =∠BCO
∴Rt△AOC∽Rt△COB， （7分） ∴
OCAO?，即OC2?OA?OB OBOC23 ∴?m24此时???x1?x2， 即
94322m?m 解得：m?3 （8分） 16433232m=?(3)2??1 ，∴点C的坐标为（0，—1）∴OC=1 4433(x2?x1)2?(x1?x2)2?4x1?x2?(?m)2?4?(?m2)?4m2 （9分）
4∵m?0，∴x2?x1?2m 即AB=2m
1123 （10分） ∴?ABC的面积=?AB?OC=?2m?1=
223解法二：
33当x?0时，y??m2 ∴点C（0，?m2）
44∵?ABC是直角三角形 ∴AB2?AC2?BC2 （7分）
332?(?m2)2 （8分） ∴(x1?x2)2?x12?(?m2)2?x244∴?2x1?x2?94m 83923 （9分） ∴ ?2(?m2)?m4 解得： m?483∴S?ABC?113132 ?AB?OC?x1?x2??m2??2m?m2?3 （10分）
224243 数学试卷 第 9 页 （共 11 页）
2013年中考数学模拟题（一）
