过点A作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为k，则切线方程为
y?kx?n?km，
代入到椭圆方程整理，得1?2k?2?x2?4k?n?km?x?2?n?km??2?0．由??0得到
2?m2?2k2?2mnk?n2?1?0，这个关于k的一元二次方程的两根即为kAB与kAD，
?由kAB?kAD??1，可知m2?n2?3，即OA?OB?OC?OD?3，即点O为矩形其中AC为直径，大小为23，故矩形ABCD对角线长为定值23． ABCD外接圆的圆心，试题解析：
（1）设点Q?x,y?， M?p,y0?， N?p,?y0?，其中y0?0． 由题意，得A1?2,0， A2由kQA1?kNA1????2,0．
??y0y?，①
x?2p?2kQA2?kMA2?y0y?，②
x?2p?22y0y2??2两式相乘得2． x?2p?2p22?y0?1， ∵2p2?1， ∴y?220代入上式得
p2?1y21x22?2????y2?1 222x?2p?2由①与y0?0,得y?0
①?②得
x?2x?2??p?2p?2??1?x?0
x2?y2?1(x?0,y?0) 所以点Q的轨迹方程为2
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A(m,n)(m?0,n?0),过点A作椭圆的切线（2）设点则切线的存在且不为0，设斜率为k
则切线方程为y?n?k(x?m) 联立椭圆方程并整理得：(1?2k)x?4k(n?km)x?2(n?km)?2?0
222??(m2?2)k2?2mnk?n2?1?0
这个关于K的一元二次方程有两个解kAB和kAD 且kAB?kADn2?1??1?2??1?m2?n2?3
m?2设O为坐标原点，故可知OA?3， 同理，得OA?OB?OC?OD?3，
即点O为矩形ABCD外接圆的圆心，其中AC为直径，大小为23， 故矩形ABCD对角线长为定值23．
跟踪训练八
1.（广西桂林、贺州、崇左三市2018届）已知、是椭圆右焦点，过作轴的垂线与交于、 两点，
与轴交于点，
，且
，为坐标原点.
（
）的左、
（1）求的方程；
（2）设为椭圆上任一异于顶点的点，、为的上、下顶点，直线于点、.若直线
与过点、的圆切于点.试问：
、
分别交轴
是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由。 解析：（1）由且
，得
，
∴∴
知点是线段为正三角形，
的中点，又为等腰三角形
，.
，
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∵∴
，
.
，且
椭圆的方程为（2）设
.
，
，
，由（1）知
则直线的方程为.
直线的方程为，
∴，，
设过的圆的圆心为
即，则的半径满足；
又
∴
∴
类型五 角度为定值
例1. （长沙市2019届）已知椭圆
的离心率，左、右焦点分别为、
，即
为定长.
，为椭圆上一点，，且 .
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（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为线
解析：（Ⅰ）又
，
、
，过
、
分别作轴的垂直、，椭圆的一条切的定值.
与、交于、两点，求证：
，，解得
，得，.
，的方程为、.
.
. ，
故所求椭圆的标准方程为（Ⅱ）由题可知，的方程为直线与直线、联立得所以所以
，
. ，
联立得.
因为直线椭圆相切，所以化简得所以所以故
， 为定值.
计算出此时.
，
，
（注：可以先通过，再验证一般性）
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题，考查学生推理和计算能力，属于中档题.
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最全总结之圆锥曲线定值问题
