圆锥曲线的定值问题
类型一 斜率四则运算为定值
例1．（2019届江苏省泰州姜堰中学期中）已知椭圆C：A、B，右焦点为F，一条准线方程是
的左右顶点为
，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q
为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程； 直线PB交直线
为定值； 若
，求直线AR的斜率的取值范围．
于点M，记直线PA的斜率为
，直线FM的斜率为
，求证：
1
解析：可得解得
椭圆的一条准线方程是， ，
，
； ，
， ， ， ，
或
， ，
，
，
，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，
，
即有椭圆方程为证明：由设直线PB的方程为联立椭圆方程可得解得即有
则即由
为定值
；
，即，代入椭圆方程，
或
， ，
可得
，
，
，可得，
，
设AP的方程为可得解得即有将t换为
2
则R的坐标为即有直线AR的斜率
，
，
可令，则，
则，
当时，，
当且仅当同样当
时，
时，
时上式取得等号，
， ，
，
则AR的斜率范围为
跟踪训练一
1．已知动点P是圆G： x?6??2?y2?32上的任意一点，点P与点A?6,0的连线
?段的垂直平分线和GP相交于点Q． （I）求点Q的轨迹C方程；
（II）过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E， F两点，直线EF与坐标轴不重合． M是轨迹C上的一点，若?EFM的面积是4，试问直线EF， OM的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由．
解析：（I）由题意， QP?QA，又∵GQ?QP?GP?42 ∴GQ?QA=42GA，
∴点Q的轨迹是以G、A为焦点的椭圆，其中a?22， c?6 3
x2y2??1． ∴椭圆C的方程为82（II）设直线l的方程为y?k1x，联立{x2 ，得?4k12?1?x2?8 y2??182y?k1x∴EF?1?k12?424k?121 ?2222k2??或设OM所在直线方程为y?k2x，联立椭圆方程得M?,?4k2?14k2?1?22????22?22k?2?， M?,22?4k?14k?1?22??22?k1?k2?点M到直线EF的距离d?24k2?11?k21．
1S?KFM??EF?d?28k1?k1?4k21?14k?1??22??4
222222∴4k1?8k1k2?4k2?16k1k2?4k1?4k2?1，
1， 41∴直线EF， OM的斜率之积是定值?
422即16k1k2?8k1k2?1?0，解得k1k2??2.（濮阳市2019届）已知椭圆C：角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线1求椭圆C的标准方程；
的一个焦点与上下顶点构成直角三相切．
2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得由．
为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理
解析：（1）由题意知，，解得
4
则椭圆的方程是
（2）①当直线的斜率存在时，设直线联立
，得
所以
假设轴上存在定点所以
，使得
为定值。
要使所以解得此时
，
为定值，定点为
，，使得
也成立 为定值
为定值，则
的值与无关，
②当直线的斜率不存在时，所以，综上所述，在轴上存在定点
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
x2?y2?1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，3．如图，已知椭圆O： 4点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M． (1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积； (2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．
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最全总结之圆锥曲线定值问题
