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分析 若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．所以需要先用换元法．
2解 令x?t，则x?t,dx?2tdt，于是
?10exdx?2?tetdt?2?tdet?2tet0011????10?2?etdt?2e?2et01??10?2e?2?e?1??2．
例10 证明定积分公式(积分表(147))：
?n?1n?3?In??02sinnxdx??02cosnxdx??nn?2n?1n?3??nn?2??2,n为大于1的奇数,3 1?,n为正偶数.22分析 由于被积函数与自然数(参数)n有关，我们采用递推的方法．
?证 In???20sinn?1xd?cosx?
n?12?2n?1cos2xsinn?2xdxxcosx???0?0???????sin??n?1??02?1?sin2x?sinn?2xdx??n?1??02sin于是有
?n?2?
xdx??n?1??02sinnxdx??n?1?In?2??n?1?In, In??n?1In?2． n称为积分In关于下标n的递推公式．我们可以得到
I2m?2m?12m?12m?32m?12m?331I2m?2?I2m?4?I0, 2m2m2m?22m2m?2422m2m?242I2m?1??I1 (m?1, 2, ?),
2m?12m?153?而 因此 I2m?I0??2dx?0?2?, I1??2sinxdx?1,
02m?12m?331??2m2m?2422?n?1n?3?或写为 In??nn?2n?1n?3??nn?2??, I2m?1?2m2m?242 (m?1, 2, ?), ?2m?12m?1532,n为大于1的奇数,3 1?,n为正偶数.22又由例6(1)可知
?20sinxdx??2cosnxdx． 证毕．
0n注 关于该结果要熟悉，在很多积分运算中经常会遇到．
三、总结
本节我们学习了
1．定积分的换元法，要注意何时须明显地写出新变量并将上、下限变为新变量积分限，何时无须明显地写出新变量，而积分限也不要变更；
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2．定积分的分部积分法，要掌握它与换元积分法的结合使用，并了解递推公式法的使用及奇偶函数在以原点为对称的区间上的积分．
作业 习题5-3(249页) 1(2，5，8，11，15)，2(1，3)，11(1，5，12)．
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定积分的换元法和分部积分法
