高等数学第六版上册课后习题答案及解析
第一章
习题1 1 1
设A ( 解A B (
A B [ A B (
5) (5 3) (5 10
5)
) B [ 10 3) ) )
写出A BAB
A B及A\\( A B)的表达式
10) (5
A\\( A B) [10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合
证明对偶律 (A B)C
A B
C C
证明因为
x (A (A B)C
3 (1)
B) x A B x
C
C
C
A或x B
x AC或 x B
C
x A B
AC C
所以
A B
设映射f X Y A X B X 证明
f(A) f(B) f(A) f(B)
f(A B) ⑵ f(A B) 证明因为
y f(A B) x A B 使 f(x) y
(因为 x A 或 x B) y f(A)或 y f(B) y f(A) f(B)
所以 f(A B) f(A) f(B) (2)
因为
y f(A B) x A B 使 f (x) y (因为 x A且 x B) y f (A)且 y f (B) y f (A) f (B) 所以 f(A B) f(A) f(B) 4 X、 f 1
证明 因为对于任意的y Y有x g( y) X且f (x) f [ g(y)] I yy y即丫中任意元素都是X 中某元素的像 所以f为X到丫的满射
又因为对于任意的Xi X2必有f(xd f(X2)否则若f(xd f(X2) g[ f (xi)] g[f(X2)] Xi X2
因此f既是单射 又是满射 即f是双射
对于映射g Y X因为对每个y 丫有g(y) X X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射 的定义g是f的逆映射 5 (1) (2)
设映射f X Y A X证明 f 1(f(A)) A
当f是单射时有f 1(f(A)) A
1
设映射f X 丫若存在一个映射g Y X使 4
其中I x、I Y分别是
Y上的恒等映射 即对于每一个x X有Ix x x对于每一个y 丫有lYy y证明f是双射 且 g是f的逆映射g
证明(1)因为 x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A)) 所以 f 1(f(A)) A
⑵ 由(1)知f (f(A)) A
另一方面 对于任意的x f 1(f(A)) 6 (1)
求下列函数的自然定义域
= I
存在y f(A)使f 1(y) x f (x) y 因为y f(A)
且f是单射 所以x A这就证明了 f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A
解由3x 2 0得 函数的定义域为
(1 1) (1 )
(0 1]
y tan( x 1)
由叵](k 0
)得函数的定义域为 I (k 0
y arcsin( x 3)
由|x 3| 1得函数的定义域 D [2 4] 解 (8)
由3x0且x 0得函数的定义域 解 y ln( x 1) (9)
解 由x 1 0得函数的定义域D ( 1 (10)
由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 解 下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同? 7 2
x f(x) lg g(x) 2lg x
⑺
0) (0 3)
)
为什么?
(1)
f(x) x g(x)
f (x) 1 g(x) sec2x tan2x 解(1)
不同因为定义域不同 不同因为对应法则不同 x 0时g(x)
相同 因为定义域、对应法则均相相同 不
同因为定义域不同
⑵ ⑶⑷
I X \I — I
⑵⑶⑷
_Z
1
(2)并作出函数y (x)的图形
1 L=J 9 (1)
试证下列函数在指定区间内的单调性
1) )
1) 有1 X1 0 1 X2 0因为当X1 X2时
⑵ y x l n x (0
证明(1)对于任意的X1 X2 (
所以函数 I在区间(1)内是单调增加的 对于任意的Xi X2 (0
)当Xi X2时 有
所以函数y x In x在区间(0 10
)内是单调增加的
X2 (0 I)且 xi X2 所以
f(X2) f (Xi) f(X2)f (Xi)
设f(x)为定义在(I I)内的奇函数 若f(x)在(0 I)内单调增加 证明f(x)在(I 0) 内也单调增加
证明对于 xi x2 ( I 0)且 Xi X2 有 xi
因为f(x)在(0 I)内单调增加且为奇函数
f ( X2)f ( Xi)
11 (1) (2) 奇函数
这就证明了对于 Xi X2 ( I 0)有f(Xi) f(X2)所以f(x)在(I 0)内也单调增加
设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(I I)上的证明 两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数 两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数
偶函数与奇函数的乘积是
证明(i)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数 则 F ( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)
所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数
如果f (x)和g( X)都是奇函数 则 F ( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)
所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数 (2) 设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数 则 F ( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)
所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数
如果f (x)和g( X)都是奇函数 则 F ( x) f( x) g( x) [ f(x)][
g(x)] f(x) g(x) F(x)
所以F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果f (x)是偶函数 而g(x)是奇函数 则 F ( x) f( x) g( x) f(x)[ g(x)] f(x) g(x) F(x)
所以F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数
i2 下 F列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数哪E些既非奇函数又非偶函数? (i) (2) (3)
2“
2
o
、 2 y 3x x
3
⑷
(5)
y x(x i)( x i) y sin x cos x i
⑹
[Z1
[[
所以f(x)是偶函数
解(i)因为 f( x) ( x)2[i ( x)2] x2(i x2) f(x)所以 f(x)是偶函数 (2) 由f( x) 3( x)2 ( x)3 3x2 x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数
⑶因为
⑷ 因为 f( X) ( x)( X i)( X i) x(x i)(x i) f(x)所以 f(x)是奇函数
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
