（2）设∠CAD=x°，则∠E=3x°， 由（1）知：∠EAC=∠B=50°， ∴∠EAD=∠EDA=（x+50）°
在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°， ∴3x+2（x+50）=180， 解得：x=16． ∴∠E=48°． 【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；
（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解． 34．（2010春?海口期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= 150° ，∠XBC+∠XCB= 90° ．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠X为90°，所以易求∠XBC+∠XCB． 【解答】解：（1）∵∠A=30°， ∴∠ABC+∠ACB=150°， ∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．
（2）不变化． ∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°， ∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB） =（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）=150°﹣90°=60°．
第26页（共33页）
【点评】此题注意运用整体法计算．关键是求出∠ABC+∠ACB． 35．（2016春?太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则 ①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想． 【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20° ∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时， ∵OE是∠MON的角平分线， ∴∠AOB=∠MON=20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO=90°， ∴∠ABO=70°，
若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20
若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35
若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°， 所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角， 且x=20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和． 36．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
第27页（共33页）
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；
（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；
（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解． 【解答】解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D 延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD ∴∠B=∠BED
又∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D．
（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
（3）连接EG并延长，
根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E， 又∵∠AGB=∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
第28页（共33页）
【点评】本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 37．（2013春?江都市校级期末）如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化
说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．
【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得． （2）、（3）五个角转化为一个平角． 【解答】解：（1）如图，连接CD．
在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°． ∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；
（2）无变化．
根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°． ∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；
（3）无变化．
∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．
第29页（共33页）
【点评】本题利用了转化思想求解，（1）是把五个角转化在一个三角形中求解，（2）（3）是把五个角转化为一个平角求解． 38．（2016春?苏州期末）Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= 140 °； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ∠1+∠2=90°+α ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ∠2=90°+∠1﹣α ． 【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α； （4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出． 【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°， ∴∠1+∠2=∠C+∠α， ∵∠C=90°，∠α=50°， ∴∠1+∠2=140°； 故答案为：140°；
（2）由（1）得出：
第30页（共33页）
初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）
