【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米． 故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°． 16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 75 度．
【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解． 【解答】解：如图． ∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°． 故答案为：75．
【点评】考查三角形内角之和等于180°． 17．（2013?上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° ．
【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°， 180°﹣100°﹣50°=30°， 故答案为：30°． 【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键． 18．（2013?遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 9 ． 【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；
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【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°， ∴（n﹣2）×180°=1260°， 解得，n=9． 故答案为9． 【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式． 19．（2015?北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．
【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900°﹣（5﹣2）×180° =900°﹣540° =360°．
故答案为：360°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． 20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 9 ．
【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数． 【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）?180°=3×360°+180°， 解得：n=9．
则这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量
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关系，构建方程即可求解． 21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的外角是：180°﹣140°=40°， 360°÷40°=9． 故答案为：9．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 22．（2013?黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．
【分析】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B， ∴∠A+∠C=2∠B，
又∵∠A+∠C+∠B=180°， ∴3∠B=180°， ∴∠B=60°． 故答案为：60．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键． 23．（2013?达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=A=
°．
∠A，…，以此类推可知∠A2013=
∠
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
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∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC， 即∠ACD=∠A1+∠ABC， ∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD， ∴∠A=∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1=∠A， ∴∠A1=m°，
∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=…
以此类推∠A2013=故答案为：
．
∠A=
°． ∠A，
【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．
24．（2012春?金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 74 度．
【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°， ∴∠ACB=68°，
∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， ∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°， ∵DF⊥CE，
∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°． 故答案为：74．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．
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25．（2006?临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC=
=108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． n边形的内角和为：180°（n﹣2）． 26．（2015?河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24° ．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可． 【解答】解：正三角形的每个内角是： 180°÷3=60°，
正方形的每个内角是： 360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是： （5﹣2）×180°÷5 =3×180°÷5 =540°÷5 =108°，
正六边形的每个内角是： （6﹣2）×180°÷6 =4×180°÷6 =720°÷6 =120°，
则∠3+∠1﹣∠2
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初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）
