高中全国高考名校试题信息卷（四）
理科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A?xx2?2x?0，B??x?4?x?4?，则 A．AIB??
B．AUB?R
C．B?A
D．A?B
??2．若复数z满足?3?4i?z?25，则复平面内表示z的点位于 A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
3．某单位有720名职工，现采用系统抽样方法，抽取36人做问卷调查，将720人按1,2,L,720随机编号， 则抽取的36人中，编号落入区间?461,720?的人数为
A．11 B．12 C．13 D．14 4．若曲线y?x?aln?x?1?在点?0,0?处的切线方程为y?3x，则a?
2A．
1 B．1 C．2 D．3 25．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S4??4，S6?6，则S5? A．1
B．0
C．?2
D．4
6．函数y?2cosx?sinx?cosx?的图象向右平移 A． 1?2sin?2x?C．2sin?2x??个单位得到y?f?x?的图象，则f?x?? 4??????4?? B．1?2sin?2x?
D．2sin?2x???? 8?????4??
3????? 8?7．已知函数f(x)?ax?12x在x??1处取得极大值，记 2g(x)?12016．程序框图如图所示，若输出的结果S?， f?(x)2017则判断框中可以填入的关于n的判断条件是 A．n?2016
2B．n?2017 C．n?2016
22
D．n?2017
2个点到直线
8．已知圆C:?x?1??y?r?r?0?，设条件p:0?r?3，条件q:圆C上至多有
x?3y?3?0的距离为1，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
3A． 9?3? B． 6?3?
662C． 3?3? D． 12?3?
266
?x?y?2?0?10．若不等式?x?5y?10?0，所表示的平面区域内存在点?x0,y0?，使得x0?ay0?2?0成立，则实数a?x?y?8?0?的取值范围是
A．a??1 B．a??1 C．a?1 D．a?1
11．设f(x)?e,f(x)?g(x)?h(x)，且g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，若x???1,1?时，不等式
xmg(x)?h(x)?0恒成立，则m的最小值为
2e2?1e2?11?e2A．2 B． 2 C．2 D．
e?1e?1e?11?e212．已知棱长为6的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A、B都不
重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b，则A．
41?的最小值为 ab7 B． C．9 D．
5422第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a??3,?1?，b??2,1?，则a在b方向上的投影为 ．
骣a÷?x-÷3x14.已知?展开式中的系数为84，则正实数a的值为 ． ÷?桫x15.抛物线C:y2?4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，?MNF为直角，若线段MF的中点
7E在抛物线C上，则△MNF的面积为 ．
16.点M为正方体ABCD?A1B1C1D1 的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，
2NB1?NC1 ,DM?BN,若球O的体积为92? ，则动点M的轨迹的长度为 .
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
?17．(本小题满分12分) 数列{an}的前n项和记为Sn，a1?t，an?1?2Sn?1(n?N)．
（Ⅰ）当t为何值时，数列{an}是等比数列;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3?15，
又a1?b1，a2?b2，a3?b3成等比数列，求Tn．
18．(本小题满分12分) 为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少 有一人是“高个子”的概率是多少?
（Ⅱ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
19．（本题满分12分）如图，平行四边形ABCD中，BC?2AB?4，?ABC?60?，PA?AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF?平面PED. （Ⅰ）求证：PA?平面ABCD；
（Ⅱ）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值.
x2y220．（本题满分12分）已知圆C：?x?1???y?1??2经过椭圆Γ∶2?2?1(a?b?0) (a?b?0)
ab22的右焦点F和上顶点B． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，
uuuuruuur求OM?OQ的最大值．
21．（本题满分12分）设函数f(x)?alnx，g(x)?12x． 2（Ⅰ）记g??x?为g(x)的导函数，若不等式f?x??2g??x???a?3?x?g?x?在x?[1,e]上有解，求实数
a的取值范围；
（Ⅱ）若a?1，对任意的x1?x2?0，不等式m[g(x1)?g(x2)]?x1f(x1)?x2f(x2)恒成立．求m（m?Z，
m?1）的值．
请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． ．．．．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1:??x?8cos?,?x??4?cost, （t为参数），C2:?（?为参数）．
?y?3sin?,?y?3?sint,（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t?为参数）距离的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设不等式|x?2|?1的解集与关于x的不等式x2?ax?b?0的解集相同． （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)?ax?3?b5?x的最大值，以及取得最大值时x的值．
?2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:??x?3?2m,（m?y??2?m
理科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．A 8．C 9．A 10．A 11．A 12． C
二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5 14．2 15．
33032? 16．52三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（I）由an?1?2Sn?1，可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得an?1?an?2an,即an?1?3an(n?2)，
由an?1?2Sn?1，a1?t，可得a2?2t?1 ……… 3分 要使n?1时，{an}是等比数列，则只需
a22t?1??3，从而t?1．………5分 a1t（II）设{bn}的公差为d，由T3?15得b1?b2?b3?15，于是b2?5，
故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9， 由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，
解得：d1?2,d2??10， ……… 8分 ∵等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d?0,d??10 …………… 10分 ∴Tn?15n?2n(n?1)?(?10)?20n?5n2． ……………………… 12分 2
2020-2021学年全国高考名校试题信息卷(四)理科数学答案解析
