2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4.2 基本不等式的综合
应用对点训练 理
1.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在→→→1
线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为________．
9λ
答案
29 18
→
→→
→
→
→
→
解析 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，13??13?3?3?1
C?，?，D?，?.又BE＝λBC，DF＝DC，则E?2－λ，λ9λ2?22??22??2172117?1??11?3
所以AE·AF＝?2－λ??＋?＋λ＝＋＋λ≥＋2
189λ218?2??29λ?4→→
21229
且仅当＝λ，即λ＝时取等号，故AE·AF的最小值为.
9λ2318
2．要制作一个容积为4 m，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
答案 160
3
3???11
F?＋，?，λ>0，?，
2???29λ
2129
·λ＝，λ>0，当9λ218
→→
解析 设池底长x m，宽y m，则xy＝4， 4
所以y＝，则总造价为：
xf(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋
80
x?4?＋20x＝20?x＋?＋80，x∈(0，＋∞)．
?
x?
x·＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最
xx→
→
→
4
4
所以f(x)≥20×2低总造价是160元．
3．在△ABC中，已知AB·AC＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP→＝x·
→
＋y·
CA→
CB→
，则xy的最大值为________．
|CA|答案 3
→
|CB|→
解析 由AB·AC＝9，得bccosA＝9. 由sinB＝cosAsinC，得b＝ccosA.
134
由S△ABC＝6，得bcsinA＝6，由上述三式可解得b＝3，c＝5，cosA＝，sinA＝，由余2553222
弦定理得a＝3＋5－2×3×5×＝16，a＝4，可见△ABC是直角三角形，以C为坐标原点，
5
→
→
→
→
＝(1,0)，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则CA＝(3,0)，CB＝(0,4)，CA→
CB→
|CA|
＝(0,1)，
→则CP＝x·
→
→
＋y·
|CB|
CA→
CB→
＝x(1,0)＋y(0,1)＝(x，y)，
|CA||CB|
又P在直线AB上，故有＋＝1(x>0，y>0)．
34∵1＝＋≥234
xyxyxy·，∴xy≤3. 34
xy13
当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时等号成立．
3422
4．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)12
与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x－200x＋80000，且每处理一吨二
2氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
y180000
解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－
x2x200≥2
180000
x·－200＝200， 2x180000当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
2x
高考数学一轮复习第七章不等式7.4.2基本不等式的综合应用对点训练理
