1．商一隔位减除数
当被除数等于或稍大于除数时，应按“数大隔商”或“数小前商”的原则直接商一，然后隔位减去一倍除数。
[例一] 38 739÷349=111 (见表4—7) 表4—7
运算步骤 数大隔商一 隔位减除数 数大隔商一 隔位减除数 数大隔商一 隔位减除数 定位：5位-3位+1位=3位 [例二] 10 767÷97=111 (见表4—8) 表4-8
运算步骤 数小前商一 隔位减除数 数小前商一 隔位减除数 数大隔商一 隔位减除数 定位：5位一2位=3位
2．商二加倍减除数
当被除数包含有二倍除数时，应通过观察直接商二，并从被除数中一次减去二倍数。置商时仍为“数大隔商、数小前商”；减除数时，如除数加倍发生进位则挨位减二倍的除数，不发生进位则隔位减二倍的除数。
减除法要求具有对任意数字心算加倍的基本训练。估商时可以直观判断被除数是否含有两倍除数，减除数则须准确地一次减去两倍除数。当除数的数字较多时，可以采用“逐字加倍”的方法，见表4—9。
表4—9 默念 拨珠 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 如减除数3 469的二倍：自最高位开始，默念3—4—6—9，顺序移档减去6—8—12—18(其中6，9两位加倍后，都是先在上一档减去十位的1，然后移档减去个位的2和8)，即减去二倍除数6 938。 [例一] 31 714÷157=202(见表4—10) 表4—10
运算步骤 数大隔商二 加倍减除数 数大隔商二 加倍减除数
运算结果 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 三 三 0 0 0 1 1 八 八 三 三 0 0 0 七 七 八 八 三 三 0 三 三 三 三 四 四 0 九 九 九 九 九 九 0 运算结果 1 1 1 1 1 1 一 一 0 1 1 1 1 ○ ○ 一 一 0 1 1 七 七 ○ ○ 0 0 0 六 六 六 六 九 九 0 七 七 七 七 七 七 0 运算结果 2 2 2 2 0 0 0 0 三 三 0 2 2 一 一 0 0 0 七 七 三 三 0 一 一 一 一 0 四 四 四 四 0 26
定位：5位一3位+1位一3位
[例二] 102 564÷462=222(见表4—11) 表4—11
运算步骤 数小前商二 加倍减除数 数小前商二 加倍减除数 数大隔商二 加倍减除数 定位：6位-3位=3位 减除后的余数若大于等于除数，应补商一，并隔位减除数。此时即为商三的方法。 [例三] 28 892÷124=233(见表4—12) 表4—12
运算步骤 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商一，隔位减除数 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商一，隔位减除数 定位：5位一3位+1位=3位
商数为四时，也可连续作两次商二的运算。 [例四] 51 728÷212=244(见表4—13) 表4—13
运算步骤 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商二，加倍减除数 数大隔商二，加倍减除数 2 2 2 2 2 0 2 4 4 4 运算结果 五 0 0 0 2 4 一 九 五 0 0 0 七 三 ○ 八 四 0 二 二 八 四 二 0 八 八 八 八 四 0 2 2 2 2 2 0 2 3 3 3 运算结果 二 0 0 0 2 3 八 四 一 0 0 0 八 ○ 六 三 一 0 九 九 一 七 二 0 二 二 二 二 四 0 2 2 2 2 2 2 一 一 0 2 2 2 2 运算结果 ○ ○ 一 一 0 2 2 二 二 ○ ○ 0 0 0 五 五 一 一 九 九 0 六 六 六 六 二 二 0 四 四 四 四 四 四 0 定位：5位-3位+1位一3位 3．商五折半减除数
一个数的五倍是这个数十倍的一半，也可以看作这个数的一半再加一个“0”。如424的五倍，即424×5=424×10÷2=424÷2×10=212×10，在算盘上表示时，一个数的五倍与这个数的一半是一样的，只是档次不同。因此，当被除数大于等于除数的半数时，应商5，然后从被除数中减去半个除数，即减5倍除数。
减除法同样要求具有对任意数字心算折半的基本训练。估商时可以根据直观判断被除数是否大于除数的一半，减除数时则须准确地减去除数的半数。当除数的数位较多时，可以采用“逐字折半”的方法，见表4—14。
表4—14 默念 拨珠
1 05 2 1 3 15 4 2 5 25 6 3 7 35 8 4 9 45 0 0 27
如减除数452的五倍：自最高位开始，默念4—5—2，顺序移档减去2—25—1(等中5折半2。5，移档减2之后应再下移一档减5)，即减去五倍除数226。
置商五多为“数小前商”，只有当除数的第一位数字为1时，商五常为“数大隔商”。减除数时，一般从商数右边第一档开始挨位减去除数的半数即可；除首为1时，也可仍按挨位减半数处理，第一位数字折半应作“05”，运算时挨位减o，空档占位，实从隔位减5。 [例一] 2 332÷424=5.5(见表4一15) 表4一15
运算步骤 数小前商五 挨位减半数 数小前商五 挨位减半数 定位：4位-3位=1位 [例二] 95.37÷17.34=5.5 (见表4—16) 表4—16
运算步骤 数大隔商五 挨位减半数 数大隔商五 挨位减半数 5 5 5 5 0 0 5 5 运算结果 九 九 0 0 0 五 五 八 八 0 三 三 六 六 0 七 七 七 七 0 5 5 5 5 运算结果 二 二 0 5 5 三 三 二 二 0 三 三 一 一 0 二 二 二 二 0 定位：2位-2位+1位=1位 商五减半数后的余数若大于一倍除数，应补商一，并隔位减除数。此时即为商六的方法。 [例] 2 048.92÷3.62=566(见表4—17)
运算步骤 商五挨位减半数 商五挨位减半数 商一隔位减除数 商五挨位减半数 商一隔位减除数 5 5 5 5 5 运算结果 二 ○ 四 0 5 6 6 6 二 0 0 5 6 三 五 二 0 0 八 八 七 一 三 0 九 九 九 七 六 0 二 二 二 二 二 0 定位：4位-1位=3位 当被除数略小于除数的半数时，说明被除数含有四倍除数，商数为4。这时应隔位加一倍除数，凑足五倍，然后挨位减半数，即按照商五时减除数的方法挨位一次减去五倍除数。 [例] 145 248÷267=544(见表4—18) 表4一18
运算步骤 商五挨位减半数 商四隔位加除数 按五挨位减半数 商四隔位加除数 按五挨位减半数 定位：6位-3位=3位
28
运算结果 5 5 5 5 5 一 0 4 4 4 4 四 一 一 0 4 4 五 一 四 一 一 0 二 七 四 ○ 三 0 四 四 一 六 三 0 八 八 八 八 五 0
4．商九凑整减除数
当被除数含有九倍除数时，接近除数的十倍。而一个数的十倍与这个数只是小数点位置不同，在算盘上表示只是档次不同。因此，当被除数前几位数字接近除数时，应置商九。商数为9时，除在特殊情况下(除数为1，或为连续1，以及除首为1且小于连续1时)可能为“数大隔商”，其余都为“数小前商”。
无论“数小前商”或“数大隔商”，都可以根据-9=+1-10的道理，隔位加一倍除数，凑足十倍，然后挨位减除数，即挨位一次减去十倍除数。
同样，根据-8=十2-10和-7=+3-10的道理，商8或商7时，可以分别隔位加二倍除数或三倍除数，凑足十倍，然后挨位减除数即可。
由于除数的九倍与八倍或八倍与七倍不易区别，特别是很难直观判断被除数是否含有八倍、七倍除数，因此在实际运算中，当被除数接近除数时，可以在立商之前先隔位加除数，加一次即够减十倍除数立商九，加二次够减立商八，加三次够减立商七，然后挨位减除数。
“隔位”加除数是对立商位置而言，如在立商前加除数，则应注意“数大”时从被除数第一位数字起加除数，“数小”时从被除数第二位数字起加除数，均与立商位置隔开一档。凑整后，原“数大”也由于发生进位变为“数小”，因此这时立商均为“前档置商”，并且在立商后都仍然挨位减除数。
[例一] 203 796÷204=999 (见表4—19) 表4一19
运算步骤 商九隔位加除数 凑整挨位减除数 商九隔位加除数 凑整挨位减除数 商九隔位加除数 凑整挨位减除数 定位：6位-3位=3位 [例二] 193 452÷196=987 (见表4—20) 表4—20
运算步骤 数近隔位加除数，加一次够减商为九 凑整挨位减除数 数近隔位加除数，加二次够减商为八 凑整挨位减除数 数近隔位加除数，加三次够减商为七 凑整挨位减除数 定位：6位-3位=3位
[例三] 993.5l÷12.45=79.8(见表4—21) 表4—21
运算步骤 数近隔位加除数，加三次够减商为七 凑整挨位减除数 数近隔位加除数，加一次够减商为九
运算结果 9 9 9 9 9 9 二 二 0 9 9 9 9 ○ 二 二 二 0 9 9 三 四 ○ 二 一 二 0 七 一 一 二 八 ○ 0 九 九 九 三 三 四 0 六 六 六 六 六 ○ 0 运算结果 9 9 9 9 9 9 一 二 二 8 8 8 8 九 一 一 二 0 7 7 三 三 七 ○ 一 一 0 四 ○ ○ 九 三 九 0 五 五 五 七 七 六 0 二 二 三 二 二 ○ 0 运算结果 7 7 7 一 0 9 九 三 一 一 九 六 二 三 三 七 二 四 五 ○ ○ 四 一 一 一 六 29
凑整挨位减除数 数近隔位加除数，加二次够减商为八 凑整挨位减除数 7 7 7 9 9 9 0 8 8 0 一 0 九 二 0 九 四 0 六 五 0 定位：3位-2位+1位=2位 5.各种方法的混合运用
减除数的不同方法适用于不同的商数，而在实际除法运算中，一道算题商数的非零数字可能为1～9之中的不同数字所组成，不同的方法必然要混合使用。各种方法对置商位置和 减除数档次的要求都是一致的，因此也可以混合使用。 [例一] 26 539.72÷21.08=1 259(见表4—22) 表4—22
运算步骤 商一隔位减除数 商二加倍减除数 商五折半减除数 商九凑整减除数 定位：5位-2位+1位=4位 [例二] 649 053.21÷7.527=86.23 (见表4～23) 表4—23
运算步骤 商八凑整减除数 商五折半减除数 商一隔位减除数 商二加倍减除数 商二加倍减除数 商一隔位减除数 8 8 8 8 8 8 六 0 5 6 0 6 6 四 四 0 0 2 2 2 运算结果 九 六 九 一 0 2 3 ○ 八 二 七 二 0 0 五 九 五 三 二 七 0 三 三 三 一 五 五 0 二 二 二 二 八 二 0 一 一 一 一 一 七 0 1 1 1 1 0 2 2 2 二 0 0 5 5 运算结果 六 五 一 0 9 五 四 二 一 0 三 五 四 八 0 九 九 三 九 0 七 七 七 七 0 二 二 二 二 0 定位：6位-4位=2位 减除法与商除法均属珠算隔位除法，置商位置和减除(减积)档次一致，若能在运算中结合使用，既能克服使用减除法对某些商数运算速度较慢的缺点，又可避免商除法有时不易准确估商的困难，是珠算除法较为理想的运算方式。一般情况下，商1或商9，8，7时可使用减除法，商为其他数字时可使用商除法。 减除法练习 练习一
(1)69 597÷627=111 (3)1 045．62÷9．42=111 (2)2 381．58÷23．58=101 (4)108．35÷0．985=110 练习二 (1)47 286÷213=222 (4)14 443÷715=20．2
(2)67．32÷306=0．22 (5)17 622．48÷87．24=202 (3)206．72÷64=3．23 (6)0．079 8÷0．19=0．42 练习三
(1)46 310÷842=55 (4)693÷126=5．5
(2)3 964．25÷7．85=505 (5)271．68÷0．48=566 (3)1 650÷2 500=0．66 (6)22 927÷5 050=4．54 练习四
30
珠算教程与应试模拟练习题
