关于一道初中几何开放题解答的研讨
例题 如图1,在平行四边形ABCD中，ABHBC, E、F为对角线BD上的两点.要 使四边形AECF为平行四边形，在不连结其它线段的条件下，还需要添加的一个条件是
这是一道常见的条件开放型试题，答案不唯一.旨在通过添加条件，复习巩固平行四 边形的性质与判定及其灵活运用，培养学生发散思维，发展合情推理能力和演绎推理能力, 切实提高学生发现问题、解决问题的能力.
有学生添加一条件是ZEAF=ZECF,这个答案究竟是错的，还是对的？留下了 “悬 疑”，本文对此问题作一研讨.
一、初步验证
如图2,打开几何画板，在平行四边形ABCD中，ABHBC,在对角线BC上取一动 点E,连结AE、CE.在AE、CE的同侧作ZEAF)= ZEDF2= Za,分别交BC于F】、F2.当 Za不变，用鼠标拖动点E使Fi与F2重合吋，可以发现四边形AECF是平行四边形；当 点E不动，用鼠标改变Zot的大小使得F］与F2重合时，可以发现四边形AECF为平行四 边形.故认为添加
ZEAF=ZECF这一条件一定能使四边形AECF为平行四边形，但这只 是推测，耍使学生信服，
还需给出证明过程.
图2
二、探究历程 方法1联想
由平行四边形ABCD易得点A、C到BD的距离相等，有SAAEF=SACEF,如图1.又 添加条件ZEAF=ZECF,由此联想到当两个三角形满足以下四个条件：①、两三角形的 周长相等；②、两三角形的面积相等；③、两三角形有一边相等；④一边相等的两三角形 中相等的边的对角对应相等时，就可以证得这两个三角形全等.因此欲证明该题只需证得 ①，问题转化为求证AAEF与ACEF的周长相等，故只需证AE+AF=CE+CF.
令 AE=m, AF=n, CE=p, CF=q.
由 S△肚尸=ymnsin a,
S 4CEF :
1
=尹gsin a,
得mn =pq?
EF2 二 m2 + n2 - 2mncos a 9
_ 2pgcos a,
m + n =p + q.
由余弦定理，得
又 EF1 二 p? +
/. m + n = p1 + q2,
于是可得AAEF与ACEF全等，因为ABHBC,故平行四边形ABCD不可能是菱形, 也就说明AE不可能与CE对应，只能△ AFF^ACFE,从而问题得证.
优化 方法1可以说明问题的正确性，但其中还涉及了课标之外的知识，且比较繁琐, 因而可在其基础上加以改进与优化.于是过点E作EG丄AF于点G,过点F作FH丄EC 于点H,如图3.
图3
C
由厶EAF =乙ECF,得
NAEG s △CFH,
七 FH CH . 宜 EG AG
设 AG = m ,EG = n9 则 CH = km, FH = kn. 又由SR阳
得 j-AF ? EG = j-CE ? FH, 有 4F ? EG 二 CE ? FH,
AF FH . …CE \
设 CE 二 s,则 4F = ks,
根据勾股定理，得
EF2 = EG2 + FG2 = EH2 + FH2, 即/ + (ks - m)2 = (s - km)2 + (kn)2. 化简得 n2 + k2s2 + zn2 = s2 + k'm2 + k2n2, n + k2s2 + zn2 - s2 - k2m2 - k2 n2 = 0, (s2 - m - n2) - (52 - m2 - n2) = 0, (k2 - 1 ) (52 - rrt - n2) = 0.
得A = 1,或％ = - 1(舍去)，
或/ = m2 + n (由AB H BC可推得4E工
EC,故舍去)，
.?? CE = AF.^AEG 竺 厶CFH,
易得四边形AECG是平行四边形. 方法2对称变换
图形变换是解决几何证明题的基本方法，因此本题可将AAEF沿BD翻折，从而使问 题得以转化.
如图4,作A点关于BD对称点G,连结EG、FG、CG,易得△ AEF^AGEF. 又点A、C到BD的距离相等， 故得点G、C到BD的距离相等，
AGC//BD.
又添加的条件为ZEAF=ZECF,
???ZECF=ZECF.
???E、G、C、F四点共圆.由平行弦所夹的弧相等，得F, C=FC, 故得四边形EFCC是
等腰梯形，
ALGEF=ZEFC.
又 ZAEF=LGEF,
???ZAEF=ZEFC. ???AE〃FC,
易得四边形AECF是平行四边形.
图4
优化 方法2通过翻折将问题巧妙转化，但其屮四点共圆的知识超出了课标，于是可 作如下调整：
如图4,在上述刈称变换的基础上，易得
ZEGF=ZECF, ZEHG=ZFHC, AAEHC^AFHC.
又 SAGEF=SACEF, 得 SACEH=SACFH,
故两个三角形的相似比为1,得
AFHC^AFHC,得 EH=FH.
有 ZEFH=ZFEH,
ZEFA=ZFEH,
得AF〃CE,从而使问题获证. 方法3正难则反
通常我们在解数学题吋，习惯于正向思维.但事实上有些问题从正面人手较难，而从 问题的反
面出发，逆向思考，这就是“正难则反”的解题策略.故本题可运用反证法，从
ZBAE与ZDCF的大小关系入手.
若 ZBAEHZDCF, 则有 ZDCF>ZBAE, 或 ZDCFvZBAE. 不妨设 ZDCF>ZBAE.
则在ZDCF内部作ZGCD=ZBAE,
使CG交BD于G,连结AG、CG,如图5.易得四边形AECG是平行四边形，有AE也CG. 过点F作HF=XZAE,连结EH、CH,所以四边形AEHF、HFCC都是平行四边形，
AZEAF = [FHE.
又已知 ZEAF=ZFCE,
.-.ZFCE=ZFHE,可推得E、F、C、H四点共圆， ???ZFHC=ZFEC. rfl平行四边形FHCG,得 ZFHC=ZCCF, ???ZFEC=ZCGE, ???CE=CG.
???四边形AECC是菱形. 连结AC,得BD垂直平分AC,
???AB = BC,与已知ABHBC矛盾，
故假设ZDCF>ZBAE不成立.
由上可得ZDCF必定与ZBAE相等，因而易得四边形AECG是平行四边形.
图5
优化 在方法3屮，涉及四点共圆的判定与性质部分，可用两次相似来替代.故由方
中考数学复习指导：关于一道初中几何开放题解答的研讨.doc
