1.3.3 函数的最大(小)值与导数课后作业
一．知识回顾
1.函数有最值的条件
如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上一定能够取得___________，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在_____________处取得．
3．求可导函数在[a，b]上最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的所有________；
(2)计算函数y＝f(x)在________和____________的函数值，其中____的一个为最大值，______的一个为最小值. 二．基础测试 一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
ln x
2．函数y＝x的最大值为( ) 1102
A.e B．e C．e D.3
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
1
A．0≤a<1 B．0 4．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 5．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－5，1) B．[－5，1) C．[－2,1) D．(－2,1) 6．已知函数f(x)＝(x2＋x)(x2＋ax＋b)，若对?x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，则f(x)的最小值为( ) 925 A．－4 B．－16 C．－2 D．0 1 7．已知函数f(x)＝ax－x－(a＋1)ln x＋1(a∈R)在(0,1]上的最大值为3，则a＝( ) A．2 B．e C．3 D．e2 二、填空题 4x 8．函数f(x)＝2，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． x＋1 x3 9．若函数f(x)＝2(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为3，则a的值为________． x＋a 10．若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－5)ex的极值点，则f(x)在[－2,2]上的最小值为________． 11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________． 12．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0,1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 13 13．已知函数f(x)＝3x－ax2＋bx＋1，当x＝3时，函数f(x)有极小值－8. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[0,4]上的值域． 14．已知函数g(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x. (1)当a＝1时，求函数g(x)的单调增区间； (2)求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值． 三、能力测试 1 15.已知函数f(x)＝2x2＋ln x. (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值，最小值； 23 (2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝3x图象的下方． 16．已知f(x)＝x2－2ln x. (1)求f(x)的最小值； 1 (2)若f(x)≥2tx－x2在x∈(0,1]内恒成立，求t的取值范围． 参考答案 1.解析：∵f′(x)＝－2x＋4，当x∈[3,5]时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在[3,5]上单调递减，∴f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)，故选B. ?ln x?′x－ln x·x′1－ln x 2.解析：令y′＝＝x2＝0(x>0)，解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x2 ln e11 0 4.解析：令h(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)，∵在[a，b]上f′(x) 因为f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增；在(－1,1)上单调递减，如图，函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小 2??a<1<6－a， 值，且最小值为f(1)，所以?解得－2≤a<1，故实数a的取值范围是[－ ??f?a?≥f?1?＝－2， 2,1)．故选C. 6.解析：∵对?x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，∴f(0)＝f(2)，f(－1)＝f(3)，即???0＝6?4＋2a＋b?，?a＝－5，?解得?∴f(x)＝(x2＋x)(x2－5x＋6)， ???0＝12?9＋3a＋b?，?b＝6， ∴f′(x)＝(2x＋1)(x2－5x＋6)＋(x2＋x)(2x－5)＝2(x－1)(2x2－4x－3)，由f′(x)＝0， 10101010 得x＝1或x＝1＋2或x＝1－2，由函数的对称性知，当x＝1＋2或x＝1－2时，?910? ?＝－，故选A.答案：A f(x)可取到最小值，f?1＋42?? 1a＋1ax2－?a＋1?x＋1?ax－1??x－1? 7.解析：∵f′(x)＝a＋x2－x＝＝，x∈(0,1]， x2x2令g(x)＝(ax－1)(x－1)，x∈(0,1)， ①当a≤1时，ax－1≤x－1<0，∴g(x)>0，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1]上单调递增， ∴f(x)max＝f(1)＝a，即a＝3(舍去)， 1???1????②当a>1时，当x∈0，a时，g(x)>0，f′(x)>0；x∈a，1?时，g(x)<0，f′(x)<0， ???? 1???1? 故f(x)在?0，a?上单调递增，在?a，1?上单调递减， ?????1?1??∴f(x)max＝fa＝2－a－(a＋1)lna＝3，即a－(a＋1)ln a＋1＝0， ??
3月4日高二数学1.3.3函数最值与导数(1)课后作业
