，
则，因此从相关系数的角度，模型
关于的线性回归方程.
的拟合程度更好
（2）（i）先建立
由由于
，得，即
，
．
所以
关于的线性回归方程为
，
所以，则
，
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即代入又所以
得，，所以
，
，
，
所以预测下一年的研发资金投入量约是【点睛】
亿元
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性 20．已知函数f?x??ln?x?1??a2x. 2（1）当a??1时，求f?x?的单调区间；
（2）若函数f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，f'?x?为f?x?的导函数，设
m?f?x2??x1?2?f'?x1?1?，求m的取值范围，并求m取到最小值时所对应的a的值. 8【答案】（1）单调递增区间为???1,???5?1?5?1?m,??，单调递减区间为????2?（2）的取值范围是2????316?1?a?ln,1?ln2. ；对应的的值为??43?2?【解析】 【分析】
（1）当a??1时，求f(x)的导数可得函数的单调区间；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1?x2，x?21ax2?ax?1,gf?(x1?1)，构造新函?ax?利用导函数f?(x)?，可得a的范围，再表达m?f(x2)?18x?1x?1数可求m的取值范围，从而可求m取到最小值时所对应的a的值． 【详解】
（1）函数f(x)?ln(x?1)?a2x 2由条件得函数的定义域：{x|x??1}， 12当a??1时，f(x)?ln(x?1)?x，
21?x2?x?1?x?所以：f?(x)?， x?1x?1f?(x)?0时，x?5?1，
2当x?(?1,5?15?1??)，时，f(x)?0， )时，f?(x)?0，当x?(225?15?1??)则函数f(x)的单调增区间为：(?1,，； )，单调递减区间为：(221ax2?ax?1,?ax?（2）由条件得：x??1，f?(x)?， x?1x?1由条件得?(x)?ax2?ax?1?0有两根：x1，x2，满足?1?x1?x2，
?△?0，可得：a?0或a?4；
?(?1)?0，可得：a?0． 由ag?a?4，
Q函数?(x)的对称轴为x??，?1?x1?x2，
1所以：x2?(?，0)；
22Qax2?ax2?1?0，可得：a??121，
x2(x2?1)?f(x2)?ln(x2?1)?x2a2x2?ln(x2?1)?， 22(x2?1)Qx1?x2??1，则：x1??x2?1，
x1?21?x2ax22?ax2?11gf?(x1?1)?f?(?x2)???所以：； 8884(x2?1)所以：m?ln(x2?1)?令h(x)?lnx?则h?(x)?x22x2?11??ln(x2?1)?，
2(x2?1)4(x2?1)4(x2?1)12x?3，x?x2?1?(，1)，
24x134x?3?2?， x4x4x2因为：h?(x)?0时，x?3331，所以：h(x)在(，)上是单调递减，在(，1)上单调递增，
2444113131因为：h()?1?ln2，h（1）?，h()??ln，h()?h（1），
24242413所以h(x)?[?ln，1?ln2)；
2413即m的取值范围是：[?ln，1?ln2)；
2433，所以有x?x2?1?，
441161a???x??则2，；
x2(x2?1)34x?所以当m取到最小值时所对应的a的值为【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．
21．在?ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB??cosA?2sinA?cosC?0. （1）求cosC的值； （2）若a?16； 35，AC边上的中线BM?17，求?ABC的面积. 2【答案】 (1) cosC?【解析】 【分析】
5 (2)答案不唯一，见解析 5（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得tanC?2，再根据同角三角函数基本关系可得cosC的值； （2）在?ABC中，由余弦定理可得b2?4b?3?0，解方程分别由三角形面积公式可得答案． 【详解】
解：（1）在?ABC中，因为cosB??cos?A?C???cosAcosC?sinAsinC， 又已知cosB??cosA?2sinA?cosC?0， 所以sinAsinC?2sinAcosC?0，
因为sinA?0，所以sinC?2cosC?0，于是tanC?2. 所以cosC?5. 5（2）在?ABC中，由余弦定理得BM2?BC2?CM2?2BC?CMcosC， 得b2?4b?3?0解得b?1或b?3，
1absinC?1， 21当b?3时，?ABC的面积S?absinC?3.
2当b?1时，?ABC的面积S?【点睛】
本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题． 22．已知?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，且acosB?（1）求角A的大小；
（2）求sin2B?sin2C?sinBsinC的值. 【答案】（1）A?【解析】 【分析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
1b?c. 232?；（2）. 34b2?c2?bc（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到sinB?sinC?sinBsinC?sinAg，2a222结合余弦定理a2?b2?c2?2bccosA 得到sinB?sinC?sinBsinC?【详解】
解：（1）由已知，得
223 41sinAcosB?sinB?sinC
2又∵sinC?sin?A?B?
1sinB?sinAcosB?cosAsinB 21∴cosAsinB?sinB?0,因为B??0,??,sinB?0
2∴sinAcosB?1得cosA??
2∵0?A?? ∴A?2?. 3（2）∵sin2B?sin2C?sinBsinC
sin2B?sin2C?sinBsinC ?sinAg2sinA23b2?c2?bc ?g24a又由余弦定理，得
a2?b2?c2?2bccos?b2?c2?bc
2? 3∴sinB?sinC?sinBsinC?【点睛】
223 41.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值
推特殊角，属于中档题
23．已知点A、B分别在x轴、y轴上运动，|AB|?3，BM?2MA． （1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N?0,??且斜率存在的直线l与曲线C交于P、Q两点，E(0,1)，求|EP|?|EQ|的取值范围．
uuuruuur??3?5?22?256?x222 【答案】（1）（）?y?1?4,??25?4【解析】 【分析】
uuuruuur(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出EP,EQ，得
到EP?EQ，所以|EP|?|EQ|?|PQ|，代入韦达定理即可求解.
222【详解】
22（1）设A?x0,0?，B?0,y0?，则x0?y0?9，
?3?uuuruuur?x?2?x0?x??x0?x??2． 设M(x,y)，由BM?2MA得??y?y0?2(0?y)??y0?3y?
江苏省南京市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
