第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
1．(2015年浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，下列命题正确的是( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是( )
A．①④ B．③④ C．①② D．①③ 3．(2018年天津模拟)如图X8-5-1，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
图X8-5-1
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( )
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 4．如图X8-5-2，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段
PB，PC上的动点，则下列说法错误的是( )
图X8-5-2
A．当AE⊥PB时，△AEF一定是直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF一定是直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定是直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定是直角三角形 5．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等
于( )
2321A. B. C. D. 33336．(2017浙江)如图X8-5-3，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R
BQCR
分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，＝＝2，分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P
QCRA
的平面角为α，β，γ，则( )
图X8-5-3
A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α
7．(2016年新课标Ⅱ) α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号) 8．(2019年新课标Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．
9．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确
的是( )
A．AC⊥BE
B．B1E∥平面ABCD C．三棱锥E-ABC的体积为定值
D．直线B1E⊥直线BC1
10．(2018年新课标Ⅱ)如图X8-5-4，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC
＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
图X8-5-4
11．(2019年江苏)如图X8-5-5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中
点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1； (2)BE⊥C1E.
图X8-5-5
12．(2019年新课标Ⅰ)如图X8-5-6，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，
AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求点C到平面C1DE的距离．
图X8-5-6
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
1．A
2．A 解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l?β，则m⊥l，故①正确，排除B；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l?β，∴α⊥β.故④正确．
3．B 解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，∴AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
4．B 解析：由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥AE. 又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，故A正确；
当EF∥平面ABC时，∵EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC， 故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确；
当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，故D正确．故选B.
5．A 解析：如图D215，连接AC交BD于点O，连接C1O，过点C作CH⊥C1O于点H.
图D215
BD⊥AC，??
∵?BD⊥AA1， ??AC∩AA1＝A，
?BD⊥平面ACC1A1，??? ??CH?平面ACC1A1，
CH⊥BD，??
??CH⊥C1O，??BD∩C1O＝O，
?CH⊥平面C1BD.
∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．
AC2?2?2＋22＝9＝3 2. 设AA1＝2AB＝2，则OC＝＝，C1O＝OC2＋CC21＝222?2?2由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1. 3 222∴×CH＝×2.∴CH＝.
223
2CH32
∴sin∠HDC＝＝＝.故选A.
DC13
6．B 解析：设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大， O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B.
7．②③④ 解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定．故①错误；
对于②，∵n∥α，∴过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c.∵m⊥α，∴m⊥c，
∴m⊥n.故②正确；
对于③，由两个平面平行的性质可知③正确；
对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知④正确．故正确的有②③④.
8.2 解析：如图D216，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的射影O在∠ACB的平分线上，
图D216
PC＝2，PE＝3，CE＝1，CO＝2，PO＝2， 那么P到平面ABC的距离为2. 9．ABC
10．(1)证明：∵AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
图D217
∴OP⊥AC，且OP＝2 3. 如图D217，连接OB.∵AB＝BC＝
2
AC， 2
1
∴△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
2
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC. (2)解：作CH⊥OM，垂足为H.
又由(1)可得OP⊥CH，∴CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离．
124 2
由题设知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
233
OC·MC·sin∠ACB4 52 5
∴OM＝，CH＝＝.
3OM5
4 5
∴点C到平面POM的距离为.
5
11．证明：(1)∵D，E分别为BC，AC的中点，
图D218
∴ED∥AB.
如图D218，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AB∥A1B1，
2021届高考数学一轮复习训练第5讲直线、平面垂直的判定与性质
