复数问题的六种简求策略
复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，它涉及到高中数学的很多分支，是每年高考中必考的内容，为帮助同学们掌握这部分内容，本文介绍几种简求复数题的常用方法，供参考。 一、特殊值法
对于含有参数范围的题目，可选定参数范围内一特值代入，进行估算，可排除干扰支，确定应选支。
例1．当
2＜m＜1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于（ ） 3B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A．第一象限 分析：由于
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＜m＜1,取m=，则z=?i,对应的点在第四象限，故选D。 3444
二、运用特殊等式
记牢一些常用的特殊等式，如（1±i）=±2i，（?2
13±i）3=1等，有助于复数运22算题的快速解决。
例2．计算（1－i）·（?6
13?i）97 22解：原式=·（?3
1313?i）96·（??i） 2222=（-2i）·（－
3
1313?i）3×32·（??i） 2222=8i·（?13?i）=－43－4i 22三、运用共轭复数的性质
共轭复数的性质很多，如z为实数?z=z，z为纯复数?z=-z，z·z=|z|等，若
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能灵活运用，可简化解题。
例3．设复数z满足|z|=2，求|z-z+4|的最大值和最小值。
解析：由|z|=2，得|z|=z·z=4，则|z-z+4|=|z-z+z·z|=|z（z-1+z）|=2|（z -1+z|，
2
2
2
2
若设z=a+bi（-2≤a≤2，-2≤b≤2），则|z-z+4|=2|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|。
1
2
∴当a=
122
时，|z-z+4|min=0，当a=－2时，|z－z+4|max=10 2四、两边同取模
如果一个复数等式中，一边能够表示成实部和虚部，采用两边取模后，可将虚数问题转化为实数问题。
例4．设复数z满足关系式z+|z|=2+ i，那么z等于（ ） A．?3+i 4B．
3-i 4
C．?3?i 4 D．
3?i 4分析：原关系式可化为z=2-|z|+i，又|z|=|z|且为实数，两边取模得
2|z|=(2?|z|)?1，解得|z|=
553，则z=2-+i=+ i，故应选D。 444五、运用整体思想
有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设的结构特征，充分利用复数的有关概念和性质，对问题进行整体处理，可得妙解。
例5．求同时满足下列条件的所有复数z①z +与虚部均为整数。
解析：观察给出式，可设μ=z+
1010是实数，且1＜z+≤6，②z的实部zz102
，则μ∈R，且1＜μ≤6，整理得z- μz+10=0，z40??2?则△=μ-40＜0，由求根公式得z=±i由条件②知是整数，则μ=2，或4
2222
?或6，当μ=2时，z=1±3i，当μ=4时，z=2±6i（不合题意，舍去），当μ=6时，z=3±i故满足条件的复数z=1±3i，或z=3±i。 六、活用复数的几何意义
在深刻理解复数几何意义的基础上，将复数问题转化为几何问题，借助几何图形的直观化可快速解题。
例6．已知z1、z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2i，则|z1-z2|的最大值是（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
分析：由|z1|=1，且z1=2i-z2知|z2-2i|=1，根据模的几何意义知z1、z2分别在单位圆及以2i为圆心的圆上，则z1、z2对应的两点间距离|z1-z2|的最大值为两圆的连心线长加上两圆的半径长即|z1-z2| max =2+2=4，故选C。
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高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算复数问题的六种简求策略素材北师大版选修(1)
