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课后篇巩固探究
A组
1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中() A.至多有一个不大于 B.至少有一个不小于 C.至多有两个不小于 D.至少有两个不小于
解析:假设a,b,c都小于,即a<,b<,c<,则a+b+c<错误,即a,b,c中至少有一个不小于. 答案:B
2.用反证法证明“若关于x的整系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有有理根,则a,b,c中至少有一个偶数”时,下列假设正确的是() A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 答案:B
3.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件. 解析:必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立. 答案:充要
4.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1,其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)
解析:①a+b>1,可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a+b>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确. 答案:③
5.若a+b=2,求证:a+b≤2.
3
3
2
2
2
2
2
,这与a+b+c=矛盾,因此假设
证法一假设a+b>2,而a-ab+b=22
b2≥0.
Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon, Facebook and Microsoft. All look unstoppable.蝴蝶谷吸引了大批中外游客。人们一到这里，立刻就会被成群的蝴蝶团团围住。你看，蝴蝶那翩翩起舞的样子，多么像在欢迎前来参观的客人呀！但取等号的条件为a=b=0,显然不成立.
∴a2-ab+b2>0,
∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2).
又a+b=2,
3
3
∴a2-ab+b2<1. ∴1+ab>a2+b2≥2ab, ∴ab<1, ∴a2+b2<1+ab<2.
∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4. ∴a+b<2,这与假设矛盾. ∴a+b≤2.
证法二假设a+b>2,则a>2-b. 故2=a+b>(2-b)+b. 即2>8-12b+6b, 即(b-1)<0. 这与(b-1)≥0矛盾.
22
2
3
3
3
3
∴a+b≤2.
6.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:证明假设
≥2,且
都不小于2,即 ≥2.
中至少有一个小于2.
因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x. 把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y), 从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此,
都不小于2是不可能的,即原命题成立.
7.设a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥成立.
证明假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<.
令x=0,y=1,有|b|<; 令x=1,y=0,有|a|<;
推荐高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4.3几何法反证法练习北师大版选修4_5
