2020年北京市房山区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 已知全集，集合，那么集合
A. B.
C. D. 2. 在
中，若
，
，
，则
A.
3. 函数
B. B.
的最小正周期是
C.
D. D. 1
A.
4. 若双曲线
C. 2
的一条渐近线经过点
，则该双曲线的离心率为
A.
5. 6.
7.
8.
C. 2 D.
函数的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 已知函数，则
上是增函数 A. 是奇函数，且在
上是减函数 B. 是奇函数，且在
上是增函数 C. 是偶函数，且在
上是减函数 D. 是偶函数，且在
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为 A. 2
B.
C.
D. 4
，空气的温度是
，经过t分钟后物体
B.
9. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是
的温度
可由公式
求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定
4分钟以后物体的温度是的空气中冷却，
，
的大于0的常数．现有的物体，放在
则k约等于参考数据：
B. C. D.
10. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁
四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是
A.
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A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
______． 11. 若，则
______． 12. 若直线与圆相切，则
13. 已知抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，，则点M的横坐标是______，
为坐标原点的面积为______．
14. 已知正方形ABCD的边长为，若，则的值为______． 15. 对任意两实数a，b，定义运算“”：
给出下列三个结论：
存在实数a，b，c使得成立；
函数的值域为； 不等式的解集是． 其中正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 如图，在三棱柱中，是边长为2的正方形，平面
，，点E为棱的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
平面，
17. 已知数列的前n项和为，，____是否存在正整数，使得，，
成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 从，，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
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18. “十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，
12时，14时，16时公布实时在园人数．如表记录了10月1日至7日的实时在园人数： 1日 2日 18005 37089 38045 29687 3日 19682 42931 40631 30638 4日 8284 16845 20711 16181 5日 13830 34017 36558 20821 6日 10101 23168 24706 16169 7日 6663 14800 15125 10866 10时在园人数 11526 12时在园人数 26518 14时在园人数 37322 16时在园人数 27306 通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量同一时段在园人数的饱和量之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．
Ⅰ甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
Ⅱ从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；
Ⅲ根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？只需写出结论
19. 已知椭圆C的两个顶点分别为
，
，焦点在x轴上，离心率为．
Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求的取值范围． 20. 已知函数
Ⅰ求函数Ⅱ求曲线Ⅲ求证：当
．
的定义域； 在点处的切线方程；
时，
．
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21. 已知集合P的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且
两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即，，，
，其中，，，且满足
，，，2，，n，则称集合P为“完美集合”． 2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集Ⅰ若集合
x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值； 合”？并说明理由；Ⅱ已知集合
Ⅲ设集合，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是
或
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：
．
故选：D．
可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B
解析：解：由正弦定理得：
，
，
或
，
，
，
解得：， 故选：B．
直接利用正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是基础题． 3.答案：D
解析：解：函数
，故它的周期
，
故选：D．
利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期． 本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题． 4.答案：C
解析：解：双曲线渐近线经过点所以：
，
，可得
，
． ，即
的一条渐近线：
，可得
， ，
所以双曲线的离心率为：
故选：C．
求出双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 5.答案：B
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2020年北京市房山区高考数学二模试卷(有答案解析)
