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一、填空题（每小题2分）
1、复数?12?2i的指数形式是 2、函数w=
1z将S2Z上的曲线?x?1??y2?1变成SW(w?u?iv)上 的曲线是
3、若1?ez?0,则z＝ 4、?1?i?i=
5、积分??2?i?2?z?2?2dz= 6、积分12?i?sinzz?1zdz? ?7、幂级数??1?i?nzn的收敛半径R= n?08、z?0是函数
11ez?1?z的 奇点 ?ez9、Re?z?1s???? ?z2?1??10、将点?,i,0分别变成0,i,?的分式线性变换w? 二、单选题（每小题2分） 1、设?为任意实数，则1?=（ ）
A 无意义 B等于1
C是复数其实部等于1 D是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）
A i?2i B 零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得11z??z D iz?iz
3、下列命题正确的是（ ） A函数f?z??z在z平面上处处连续 B 如果f??a?存在,那么f??z?在a解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
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____ D 如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数 4、根式3?1的值之一是（ ）
A
12?32i B 32?i2 C ?32?i2 D ?12?32i 5、下列函数在z?0的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）
A 11 B cos1 C ectgzsin1z D Lnz
z6、下列积分之值不等于0的是( )
A ?dzdz
dz3 B ?1 C
2?4 D z?1z?z?1z??1z?2zz?dz ?1cosz2z?2
7、函数f?z??arctanz在z?0处的泰勒展式为（ ）
?nz2n?2n?1A ???1?（z<1） B nzn?02n?1???1?（z<1）n?02n
?C ???1?nz2n?1?2n （z<1） D nzn?02n?1???1?（z<1）n?02n
?8、幂级数?(?1)n?1z2n在z?1内的和函数是（ ）
n?0 A
11?z2 B 1111?z2 C z2?1 D ?1?z2 9、设a?i，C：z?i=1，则?zcoszC?a?i?2dz?（ ）
A 0 B
2?ei C 2?ie D icosi 10、将单位圆z?1共形映射成单位圆外部w?1的分式线性变换是（A w?ei?z?a1?az(a?1) B w?ei?z?a1?az(a?1) ）
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C w?ei?z?az?a(a?1) D w?ei?(a?1) z?az?a2____________________ 2、证明方程ez?5zn?1?0在单位圆z?1内有n个根
一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 4e5??i6???2k??1iln2?e?4，2 u? ， 3 (2k+1)?i,(k=0,?1,?2?)， 4 e(k=0,?1,?2?)
2???三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,z?z成立
2、（ ）若a是f?z?和g?z?的一个奇点,则a也是f?z??g?z?的奇点 21ie15 ?, 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 ?
3、（ ）方程z7?z3?12?0的根全在圆环1?z?2内 54、（ ）z=?是函数f?z??z?1?z?2的三阶极点
5、（ ）解析函数的零点是孤立的
四、计算题（每小题6分）
1、已知f?z??x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)在Sz上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分?5z?2z?2z(z?1)2dz 3、将函数f?z??z?1z?1在z?1的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围
4、计算实积分I=???x20(x2?1)(x2?4)dx
5、求f(z)?11?z2在指定圆环2?z?i???内的洛朗展式 6、求将上半平面Imz?0共形映射成单位圆w?1的分式线性变换
w?L?z?，使符合条件L?i??0，L??i??0
五、证明题（每小题7分）
1、设（1）函数f(z)在区域D内解析
（2）在某一点z0?D有f(n)(z0)?0，（n?1,2,?）
证明：f(z)在D内必为常数
____________________________________________________________________________________2欢迎下载。
____322二 单选题（每小题2分，共20分）
1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）
1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分）
1解：u?x2?axy?by2,v?cx2?dxy?y2 ux?vy 2x?ay?dx?2y
uy??vx ax?2by??2cx?dy 解得:a?d?2,b?c??1 2 解：被积函数在圆周的z?2内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 Resf(z5z?2z?0)?(z?1)2z?0??2
?5z??Rez?1sf(z)??2??z???2z2?2 z?1z?1 ?5z?2z?2z(z?1)2dz=?2i(-2+2)=0 z?3分 …5分
?6分
?2分
?5分
?6分
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_________________ 3 解：f?z??z?1 z?1?1?1?n?1??????z?1? …4分 z?12?n?0?1?2n五 证明题（每小题7分，共14分）
1 证明:设k:z?z0?R(k?D) ?f(z)在z0解析 由泰勒定理 f(z)??n?0?2?1? = 1?z?1f(n)(z0)(z?z0)n (z?k?D) …2分 n! （z?1<2） …6分 由题设 f(n)(z0)?0 ?f(z)?f(z0) ，(z?k?D) …4分
4 解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i I=1??x22???(x2?1)(x2?4)dx =122?i?Resf(z)z?i?Resf(z)? z?2i=?i??z2 z2?(z?i)(z2?4)z?i?(z2?1)(z?2i)z?2i? =
?6 5 解：f(z)?1(z?i)(z?i) =
11(z?i)2 1?2iz?i =
1??(?1)n(2i)n(z?i)2n?0(z?i)n 2?z?i???6 解: w=L(i)=k
z?iz?i w??k2i(z?i)2 w??L?(i)??0 ?k?i w?iz?iz?i …1分
…2分 …3分
…5分
…6分 …1分
…3分
…6分 ?2分 …3分
…4分 …6分 _______________________________________________________________________________________3欢迎下载。
____ 由唯一性定理 f(z)?f(z0) (z?D) …7分 2 证明：令f(z)?5zn ，?(z)?ez?1 ?2分 (1）f?z?及??z?在z?1解析 (2）z?1上，f?z??5zn?5
??z??ez?1?ez?1?ez?1?e?1<5 ?4分
故在z?1上f?z????z?，由儒歇定理在z?1内
N(f?z????z?,z?1)?N(f?z?,z?1)?n …7分
一、填空题（每小题2分）
1、?cos5??isin5??2?cos3??isin3??3的指数形式是 2、ii= 3、若0 n?0n! 精品文档 8、z?0是函数z5sin1z的 奇点 9、方程z7?z3?12?0的根全在圆环 内 10、将点?,i,0分别变成0,i,?的分式线性变换w? 二、单选题（每小题2分） 1、若函数f?z?在区域D内解析，则函数f?z?在区域D内（ ） A在有限个点可导 B存在任意阶导数 C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不可导 2、使z2?z2成立的复数是（ ） A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D实数 3、?coszz?2(1?z)2dz?（ ） A －?isin1 B ?isin1 C －2?isin1 D 2?isin1 4、根式3i的值之一是（ ） A 32?i2 B ?32?i2 C i D ?i 5、z??是sinzz??的（ ） A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点 6、函数f?z??1z?z?1??z?4?，在以z?0为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7、下列函数是解析函数的为（ ） A x2?y2?2xyi B x2?xyi C 2(x?1)y?i(y2?x2?2x) D x3?iy3 8、在下列函数中，Rez?0sf?z??0的是（ ） ________________________________________________________________________________________________________4欢迎下载。 ____ A f?z??ez?1sinz1z2 B f?z??z?z C f?z??sinz?cosz11z D f?z??ez?1?z 9、设a?i，C：z?i=1，则?zcoszC?a?i?2dz?（ ） A 0 B 2?ei C 2?ie D icosi 10、将单位圆z?1共形映射成单位圆外部w?1的分式线性变换是（A w?ei?z?a1?az(a?1) B w?ei?z?a1?az(a?1) C w?ei?z?az?a(a?1) D w?ei?z?az?a(a?1) 满分 10 三、判断题（每小题2分） 得分 ?1、（ ）幂级数?zn在z<1内一致收敛 n?02、（ ）z=?是函数 1?coszz2的可去奇点 3、（ ）在柯西积分公式中，如果a?D，即a在D之外，其它条件 不变，则积分 1f?z?2?i?Cz?adz?0，?z?D? ctg14、（ ）函数f?z??ez在z?0的去心邻域内可展成洛朗级数 5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分） 1、计算积分?C?x?y?ix2?dz，C：i?1+i的直线段 ） 精品文档 2、求函数f?z???z?1??z?1?2在所有孤立奇点（包括?）处的留数 _____________________ z2解: z?1为f?z?一阶极点 ?1分 z??1为f?z?二阶极点 ?2分 ?z?Resf?z????z??1?z?1?Resf?z??113、将函数f?z??在z?i的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 ?z?iz?i?z??14、计算积分?Cdz , C:x2?y2?2y?1， 22zz?1??2?d?满分 得分 14 1?? ?3分 41 ?5分 z2z?1?5、计算实积分I=?_0a?cos? (a?1) ___6、求将单位圆z?1共形映射成单位圆w?1的分式线性变换w?L?z? _______使符合条件L??1?_?2???0，L?1???1 ____五、证明题（每小题7分） ____1、设函数f?z?在区域D内解析，证明：函数if?z?也在D内解析 ______2、证明：在z?0解析，且满足的f??1?1?1?1__?2n?1???2n，f??2n???2n（n?1,2?）的函数_f?z?___不存在 ___一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） _____1 ei19?，2 e??2?2k?(k=0,±…) ， 3 0， 4 ?u， 5 9 ____6 ?n ，7 ?? ， 8 本质， 9 1?z?2 ， 10 ?1__z ___二 单选题（每小题2分，共20分） ____1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A ____三 判断题（每小题2分，共10分） ____ 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ____四 计算题（每小题6分，共36分） ____1解：C的参数方程为： z=i+t, 0?t?1 dz=dt ?3分 ____ ?x?y?ix2?dz＝?1?t?1?it2?dt=?1__C?02?i3 ?6分 ____________ z?1?z?1?4Rez??sf?z??0 ?3 解：f?z??1z?i?1z?i=?11??z?i?2i?1???z?i???1?2i??n = ?1?z?i????1?n?z?i? n?0?2i?n?1 （0 一个一阶极点z?i ? Rez?0sf?z????1??z2?1???0 z?0Resf?z?1z?i?z2(z?i)??1z?i2i 所以原式＝2?i??1??0?2i????? 5 解：令z?ei? 5欢迎下载。 …6分 …2分 …5分 …6分 …1分 …3分 …5分 …6分
复变函数期末考试题大全(东北师大)
