§2.3 函数的奇偶性与周期性
考试如何考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．
复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．
1． 奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2． 奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3． 周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期．
[重难点]
1． 函数奇偶性的判断
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 2． 函数奇偶性的性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
1． (课本改编题)已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
122
答案 解析 由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax＋bx＝a(－x)－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.
311
又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝.
332．设函数f(x)＝xcos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案 －9 解析 令g(x)＝f(x)－1＝xcos x，
∵g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－g(x)，∴g(x)为定义在R上的奇函数．又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10.又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9. 3． 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值
范围是________．
答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 解析 画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．
4． 函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 答案 D 解析 因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 即f(－x)＝－f(2＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)， 即f(－x)＝－f(－2＋x)，于是f(x＋2)＝f(x－2)， 即f(x)＝f(x＋4)，
所以函数f(x)是周期T＝4的周期函数．所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，
3
3
3
3
2
f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．
?5?5．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f?－?等于 ( )
?2?
1111A．－ B．－ C. D.
2442
?5??5?答案 A 解析 ∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f?－?＝f?－＋2?
?2??2?
1?1?1?1??1?＝f?－?＝－f??＝－2××?1－?＝－. 2?2?2?2??2?
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝9－x＋x－9； (2)f(x)＝(x＋1)
22
2
1－x； 1＋x4－x(3)f(x)＝.
|x＋3|－3
思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称， 再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 解 (1)由{9－x≥0x－9≥0 ，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
2
2
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
?1－x≥0(2)由?
?1＋x1＋x≠0
，得－1 ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)由{4－x≥0|x＋3|－3≠0 ，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原 2 4－x4－x点对称．∴f(x)＝＝.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数． x＋3－3x 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 下列函数： 3－3 ①f(x)＝1－x＋x－1；②f(x)＝x－x；③f(x)＝ln(x＋x＋1)；④f(x)＝；⑤f(x) 2 2 2 3 2 22 x－x1－x＝lg . 1＋x其中奇函数的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析 ①f(x)＝1－x＋x－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x＋ 2 2 2 x2－1既是奇函数，也是偶函数； ②f(x)＝x－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)－(－x)＝－(x－x)＝－f(x)，则f(x)＝x－x是奇函数； ③由x＋x＋1>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋x＋1)的定义域为R， 又f(－x)＝ln(－x＋ －x2 2 2 3 3 3 3 ＋1)＝ln ＝－ln(x＋x＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； x＋x＋1 2 1 2 3－33－33－3 ④f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 2221－x1－x1＋x?1－x?－1 ⑤由>0得－1 1＋x题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x) ＝2x－x. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 思维启迪：(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数； (2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)＝－x＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x＋6x－8，即f(x)＝x－6x＋8，x∈[2,4]． (3)解 ∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 探究提高 判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－ ＝x，则f(105.5)＝________. 答案 2.5 解析 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－ 1 2 2 2 2 2 x－x－xxx－xfx，当2≤x≤3时，f(x) f11 ＝－x＋21 － ＝f(x)． fx故函数的周期为4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 题型三 函数性质的综合应用 例3 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间． 思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象，求图形面积、写单调区间． 解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． ?1?当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×?×2×1?＝4. ?2? (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1] (k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3] (k∈Z)． 探究提高 函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分 利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想． (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增 函数，则 ( ) A．f(－25) 答案D解析 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又 f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11) ＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25) (2)函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x 1 －)]<0的解集． 2 解 ∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数， ?1 且由f(1)＝0得f(－1)＝0.若f[x(x－)]<0＝f(1)，则?x2? x－ 1 >0x2 x－ 1<12
【步步高】高考数学一轮复习_2.3函数的奇偶性与周期性(师)
