素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
解析几何部分
2019A 4、设A,B为椭圆??的长轴顶点，E,F为??的两个焦点，AB?4, AF?2?3, P为?上一点，满足PE?PF?2，则?PEF的面积为 ．
◆答案：1
x2y2★解析：设椭圆?的方程为2?2?1（a?b?0），则2a?4,a?a2?b2?2?3，可知
aba?2,b?1，EF?23,所以PE?PF?4，又PE?PF?2，
所以PE?PF??PE?PF22?2?2PE?PF?12?EF，即?EPF为直角，进而?PEF2得面积为
1PE?PF?1。 222019A 10、在平面直角坐标系xoy中，圆?与抛物线?:y?4x恰有一个公共点，且圆?
与x轴相切于?的焦点F．求圆?的半径．
★解析：易知?的焦点F的坐标为?1,0?．设圆??的半径为r(r?0) ?．由对称性，不妨设
故?的方程为?x?1???y?r??r2①，将y2?4x代入消?在x轴上方与x轴相切于F，
22???y2?4??y???1y22去x得??1??y?2ry?0，显然y?0，所以r?② ???1??y??2y??432y??4????由于圆?与x轴相切于?的焦点F．则②恰有一个正数解，由于
22222r??y2?4?32y2?2444??y????23443333?当且仅当y2?，即y?时取等号，接下来，当???3332y922y2?4??23??23??43r?y??0,,??及?时，r?产生不唯一解，所以仅有符合。 ?????3?932y3????
2019B 7. 在平面直角坐标系中，若以?r?1,0?为圆心、r为半径的圆上存在一点?a,b?满足
b2?4a，则r的最小值为 ．
◆答案： 4
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编—解析几何部分 第 1 页 共 42 页
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
★解析：由条件知?a?r?1??b?r，故4a?b?r??a?r?1??2r?a?1???a?1?，
2222222即a2?2?r?1?a?2r?1?0有解，所以??? ?2?r?1????4?2r?1??4r?r?4??0，解得r?4。经检验，当r?4时，a?3,b?23时满足条件，所以r的最小值为4。
2019B 9. （本题满分16分）在椭圆?中， F为一个焦点，AB为两个顶点．若AF?3,BF?2，求AB的所有可能的值。
2x2y2★解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆?的标准方程为2?2?1（a?b?0），并记
ab可设F为?的右焦点．知F到椭圆?的左顶点的距离为a?c，到椭圆?c?a2?b2．由对称性，
的右顶点的距离为a?c，到上下顶点的距离均为a，
⑴A,B分别为左、右顶点．此时a?c?3,a?c?2，故AB?2a?5； ⑵A为左顶点，B为上顶点或下顶点．此时a?c?3,a?2，c?1,b?3，故AB?2a2?b2?7；a2?b2?17；
c?1,b?8，⑶A为上顶点或下顶点，B为右顶点．此时a?3,a?c?2，故AB?综上AB的所有可能的值为5,7,17。
2x2y22018A 4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左右焦点分别是F1,F2，
ab椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则?PF1F2的面积为
◆答案：15
★解析：由对称性，不妨设点P?x0,y0?在第一象限，则x0?PT?PS2222即P?2,1?。进而可得U?2,2?，S?4,1?，代入椭圆方程解得：a?20，b?5，从而
11S?PF1F2?F1F2?y0??215?1?15。
22
22018B 6、设抛物线C:y?2x的准线与x轴交于点A，过点B(?1,0)作一直线l与抛物线C相切于点K,过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N，则?KMN的面积为为 ◆答案：
?2，y0?PV?PU?1
1 21981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编—解析几何部分 第 2 页 共 42 页
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
★解析:设直线l与MN的斜率为k，l:x?111 y?1，MN:x?y?分别联立抛物线方程得到：
kk2y2?222，和y?y?1?0 （??） y?2?0（?）
kk42y?y?对（?）由??0得k??；对（??）得MNk2211所以S?KMN?S?BMN?S?BAM?S?KBAN??AB?yM?yN?
22
?4?2
x2y2??1，F是C的焦点，A为C的右2017A 3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为
910顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为
311◆答案：
2???★解析：由题意得A?3,0?，F?0,1?，设P点的坐标为3cos?,10sin?，其中???0,?，则
?2?11311SOAPF?S?OAP?S?OFP??3?10sin???3?cos??sin?????，可得面积最大值为
222311。 2??
2222017B 7、设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x?ay?a?0的焦距为4，则实数a的值为 ． ◆答案：
1?17 2x2y2?1，显然必须?a?0，故二次曲线为双曲线，其标准方程★解析：二次曲线方程可写成?2?aay2x222222c?(?a)?(?a)?a?aa?a?4，为，则，注意到焦距，可知2c?4??122(?a)(?a)又a?0，所以a?1?17. 2
22018A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y?4x的过点F(1,0)的弦，?AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O,A,B）．若PF平分?APB，求PF的所有可能值。
22?y3??y12??y2?????,yB,yA,y★解析：设A?，，?41??42??43??，由已知条件知y1,y2,y3两两不等且不为0.
??????1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编—解析几何部分 第 3 页 共 42 页
1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
