第九讲 不定方程
一、 二、
二元不定方程的解法。枚举法，余数法。 三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。
1、解下面的不定方程，求出所有自然数解
(1) 4x?5y?98 (2) 19x?9y?100
(3) 7x?19y?213 (4) 14x?21y?3585
2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且[分析与解答]
依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.
3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个. [分析与解答]
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占 n?25%?n?37 ,△+☆= . ??51155a.依题意,得 5a?91?n 5整理得 n(15?4a)?20?91 ① 易知 15-4 a>0,所以a≤3.
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).
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4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组. [分析与解答]
设共分为x组.由树苗总数可列方程 9x?2?nx?20 (9?n)x?22
因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).
5、不定方程2x?3y?7z?23的自然数解是 . [分析与解答]
?x?2??y?4?z?1??x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?
显然z只能取1,2,3.
当z=1时,2x?3y?16,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,2x?3y?9,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,2x?3y?2,显然无自然数解.
?x?2? 所以原方程的自然数解为:?y?4?z?1?
?x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?
6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 . [分析与解答]
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8371692.
设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有
??10x?a?y?9063①
② ?x?1000a?y?2529①-②,化简得x?726?111a. 当a=1时, x=837, y=692; 当a≥2时, y<0,不合题意. 所以电话号码为8371692.
7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为a10,a,b,c依次为 , , . [分析与解答]
由题意有3a?2?6b?5?8c?7.解这个不定方程,得a?7,b?3,c?2.
8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的(若干碗)的
257,b,c.已知a,b,c都小于3681和全部咖啡41.那么,全家有 口人. 6[分析与解答]
设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:整理得 3x?2y?12.
易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.
9、某单位职工到郊外植树,其中
11x?y?1 461的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工3每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.
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[分析与解答]
设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子由已知 10x?13y?x?y人.这个条件说明3| x+ y. 3x?y?6?216 3即 4x?5y?72 4(x?y)?y?72 由12|4(x+ y),12|72. 所以12| y,又y?72?4x724≤?14. 555 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.
10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米. [分析与解答]
画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为x,y,z,则 z ??4??x?y?z??28
xyz?12?y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.
由上面两上算式可以推算出x?3,y?z?2,仅1面涂色彩正方体有:
(x?y?y?z?x?z)?2
?(3?2?2?2?3?2)?2 ?16?2?32(块).
原来长方体的体积为
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V?(x?2)?(y?2)?(z?2)?5?4?4?80(立方分米).
11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元. [分析与解答]
设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程 (100y?x)?350?2(100x?y), 其中x,y为整数且0≤x,y<100. 化简方程得 98y?199x?350
由此推知2x 12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客? 5 / 8
初中数学竞赛资料：不定方程
