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第五节 指数与指数函数
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1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式 (1)根式的概念
n
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
?x＝na?当n为奇数且n∈N时?，
x＝a??
?x＝±na?当n为偶数且n∈N时?.
*
n
*
(2)根式的性质 n
①(a)n＝a(n∈N*)． a，n为奇数，?n
?a，a≥0，②a＝??|a|＝????－a，a＜0，
n
n为偶数.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：
mn
①正分数指数幂：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
nm11
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
nmn
aamn
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③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质
y＝ax 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 性质 x＜0时，0＜y＜1 在R上是增函数
n
1.an＝a成立的条件是什么？
提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.
当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是减函数 a＞1 0＜a＜1 ＋
2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
1?x
3．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|，y＝??a?之间有何关系？ 提示：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是1?x
一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝??a?的图象关于y轴对称．
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1．化简[(－2)]2－(－1)0的结果为( ) A．－9 B．－10 C．9 D．7 解析：选D [ (－2)6]2－(－1)0＝(26)2－1＝8－1＝7. 4
2．化简16x8y4(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 解析：选D
4
16x8y4＝2x2|y|＝－2x2y.
1
1
61
3．函数f(x)＝3x＋1的值域为( ) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax2－3的图象必过定点________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，y＝1－3＝－2，故函数f(x)＝ax2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴ 0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 答案：(2,3)
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前沿热点(三)
指数函数与不等式的交汇问题
1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．
2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．
[典例] (2012·浙江高考)设a＞0，b＞0，( )
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A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
[解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f(x)＝2x＋2x，然后利用其单调性解决． [解析] ∵a>0，b>0，∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．∴a>b.
[答案] A
[名师点评] 解决本题的关键有以下两点： (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题； (2)构造函数，并利用其单调性解决问题．
设函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5，当0≤x≤1时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵ 0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函数，f(x)＞0恒成立?f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
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【创新方案】高考数学(理)一轮复习配套文档：第2章 第5节 指数与指数函数
