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?2?48－m2?24m?
，2?， 故Q?2＋48mm＋48??
?2?2?48－m2?2?m2－12?
2当＝，即m＝24时， 直线PQ与x轴的交点为T?，0?，
m2＋48m2＋12?3?
2?48－m2?2?m2－12?当≠，即m2≠24时， 22m＋48m＋12
?2?下面证直线PQ过点T?，0?.
?3?
－12mkPT－kQT＝
－＝－＝0，
2?m2－12?22?48－m2?2m2－2424－m2
－－
m2＋123m2＋483
m2＋12
－0
24mm2＋48
－0
－9m9m?2?
故直线PQ过定点T?，0?.
?3?
思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．
跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，
4
x2
A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O?6?
的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D?－，0?.设直线AB，AC的斜
?5?
率分别为k1，k2.
(1)求k1k2的值；
(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
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(3)求证：直线AC必过点Q.
2＝1， (1)解 设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y0
4
x20
1
所以k1k2＝·＝2＝2＝－.
x0－2x0＋2x0－4x0－44
y0y0y20
1－
x20
4
??y＝k1?x－2?，
(2)解 由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立?
2＋y2＝4，x??
222得(1＋k21)x－4k1x＋4(k1－1)＝0，
设P(xp，yp)，
2?k2－4k11－1?
解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝， 221＋k11＋k1
y＝k?x－2?，
??联立?x?4＋y＝1，?
12
2
222得(1＋4k21)x－16k1x＋4(4k1－1)＝0，
设B(xB，yB)，
2?4k2－4k11－1?同理得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
1＋4k21＋4k211所以kBC＝＝2， xB4k1－1
－4k1
yB－2k1
kPQ＝
＝2＝， 62?k1－1?64k21－1xp＋＋
51＋k251
yp1＋k21－5k1
555
所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC，
222
?68?
(3)证明 当直线PQ与x轴垂直时，Q?－，－?，
5??5
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8
则kAQ＝
1
＝＝k2，所以直线AC必过点Q. 622＋
55
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为 6?
y＝2?x＋?，
5?4k1－1?
－5k1?
6?－5k???y＝4k－1?x＋5???联立?
??x＋y＝4，
12
1
2
2
，
2－1?－2?16k116k1
解得xQ＝，yQ＝，
16k216k21＋11＋1
16k1
所以kAQ＝＝－＝k2， －2?16k24k11－1?
－2
16k21＋1故直线AC必过点Q. 综上可知，直线AC必过点Q. 热点三 定值问题
例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M. (1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
＋＝1，
1612
16k21＋1
1
x2y2
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1
解 (1)由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点为(－2,0)，(2,0)，
2∴椭圆M的方程为＋＝1.
43
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l: y＝kx＋b.
x2y2
y＝kx＋b，??由?xy?4＋3＝1?
2
2
(
得，3＋4k2x2＋8kbx＋4b2－12＝0.
()
令Δ＝64k2b2－43＋4k2
)(4b－12)＝0得，
2
b2＝3＋4k2.
y＝kx＋b，??联立?xy＋＝1，??1612
2
2
化简得3＋4k2x2＋8kbx＋4b2－48＝0.
()
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， －8kb±∴x1,2＝
64k2b2－4?3＋4k2??4b2－48?
2?3＋4k2?
?3＋4kb?∴?4b－484b－48??x·x＝3＋4k＝b.
x1＋x2＝－2
2
1
2
2
2
8kb－8k＝，2
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∴AB＝＝
?x1－x2?2＋?y1－y2?2
1＋k2x1－x2
?x1－x2?2＋k2?x1－x2?2＝12
1＋k2
||
＝
|b|
1
，而原点O到直线l的距离d＝
|b|
1＋k2
，
∴S△ABO＝AB·d＝6.
2
当直线l的斜率不存在时，l：x＝2或x＝－2，则AB＝6，原点O到直线l的距离d＝2， ∴S△ABO＝6.
综上所述，△ABO的面积为定值6.
思维升华 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．
跟踪演练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，椭圆2＋
x2y2b2
a＝1(a>b>0)的离心率为
22
，焦点
到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x1,0)，直线AC与直线BD交于点N(x2，y2)．
(1)求椭圆的标准方程；
→→
(2)若CM＝2MD，求直线l的方程； (3)求证：x1x2为定值．
2
(1)解 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.
2
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高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案
