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第3讲 解析几何的综合问题
[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．
热点一 最值、范围问题
例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C：2＋x2y2
ab2
＝1(a>b>0)的左顶点，右焦点分别为A，F，右
准线为m，
(1)若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(－2,0)，设B，M，N是椭圆上的三点，3→4→
且OB＝OM＋ON，求以线段MN的中点为圆心，过A，F两点的圆的方程．
55→
解 (1)设直线m与x轴的交点是R， 依题意FR≥FA，
ac1
即－c≥a＋c，≥a＋2c，≥1＋2，≥1＋2e， cccae1. 2
a2a2
2e2＋e－1≤0,0 1 (2)当e＝且A(－2,0)时，F(1,0)，故a＝2，c＝1, 2所以b＝ 3， 灿若寒星 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档********* 椭圆方程是＋＝1， 43设M(x1，y1)，N(x2，y2) ，则 3→4→ 由OB＝OM＋ON， 55→ x2y2 x2y211 4 ＋＝1，＋＝1. 343 x2y222 ?3434? 得 B?x1＋x2，y1＋y2?. 555??5 因为B是椭圆C上一点， 所以?34??34? 2?x1＋x2??y1＋y2?25??55??5 4 ＋ 3 ＝1， ?x2?x2y2y2311??3?22??4?22即?＋???＋?＋???＋2·· 5?43??5??43??5? 4?x1x2y1y2?x1x2y1y2 ＋??＝1，＋＝0，① 3?5?443 ?1y1＋y2? ?， 因为圆过A，F两点， 所以线段MN的中点的坐标为?－， 22???y1＋y2?1 2＋y2＋2yy) ?2＝(y1又?212 ?2?4?x2?x21??1?2? ＝?3?1－?＋3?1－?＋2y1y2?，② 4?4?4?????y1＋y2? ?2 由①和②得? ?2? ?x2?x1x2??x21??1?2? ?? ＝?3?1－?＋3?1－?＋3?－ 4?424????????3?1?211 2 ＝?2－?x1＋x2??＝·?2－?＝， 44??4?4?16 3? ?121???， 所以圆心坐标为?－，±4??2? 灿若寒星 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档********* ?1??5721???22故所求圆的方程为?x＋?＋y±＝. ??24????16 思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值． (2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)． ?3 跟踪演练1 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点?－ ab2? 上． (1)求椭圆C的标准方程； x2y2 3，?在椭圆C2? 1? (2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△ POQ面积的最大值． 1 334 解 (1)由已知得＝，＋＝1， a2a2b2 c解得a2＝4，b2＝1， 椭圆C的标准方程是＋y2＝1. 4(2)设l与x轴的交点为D(n,0)， 直线l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x2 x＝my＋n，??联立?x＋y＝1，??4 2 2 得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0， Δ＝16(m2－n2＋4)＞0， －2mn±y1,2＝ ?2mn?2－4?4＋m2??n2－4? ， 2?4＋m2? 灿若寒星 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档********* 所以 y1＋y2 2 ＝－ ，y1y2＝， 4＋m24＋m2 ＝， 4＋m2 4nmnn2－4 所以 x1＋x2m?y1＋y2?＋2n2 ＝ 2 ?4nmn? ，－?， 即H?224＋m4＋m?? ?4＋m2?2 由OH＝1，得n2＝， 16＋m2 11 则S△POQ＝·OD·|y1－y2|＝|n||y1－y2|， 22 n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2] ＝12×16×. ?16＋m2?2设t＝4＋m2(t≥4)， 则 4＋m2?16＋m2?2 ＝4＋m2 tt2＋24t＋144 ＝ ≤， 14448t＋＋24 11 t144 当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1， t所以△POQ面积的最大值为1. 热点二 定点问题 例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A，B是椭圆＋＝1的长轴顶点，P，Q是椭 43圆上的两点，且满足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率． x2y2 (1)求证：直线AP和BQ的交点R在定直线上； (2)求证：直线PQ过定点． 灿若寒星 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档********* 证明 (1)根据题意，可设直线AP的方程为y＝kAP(x－2)，直线BQ的方程为y＝kQB(x＋2)， 则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足 x0＋2 x0－2 ＝2，即x0＝6. 因此直线AP和BQ的交点R在定直线x＝6上. (2)由(1)，可设点R的坐标为(6，m)， 则直线AP的方程为y＝(x－2)，直线BQ的方程为y＝(x＋2)， 48 mm??y＝4?x－2?， 联立方程?xy??4＋3＝1， 2 2 m 得(m2＋12)x2－4m2x＋4(m2－12)＝0， 4?m2－12?2?m2－12? 设P(xP，yP)，则根据根与系数的关系，得2×xP＝，即xP＝， m2＋12m2＋12代入直线AP的方程得，yP＝ －12m， m2＋12 ?2?m2－12?－12m? ，2?. 故P?2＋12mm＋12?? ??y＝8?x＋2?， 联立方程?xy??4＋3＝1， 2 2 m得(m2＋48)x2＋4m2x＋4(m2－48)＝0， 4?m2－48? 设Q(xQ，yQ), 则－2×xQ＝， m2＋482?48－m2? 即xQ＝， m2＋48代入直线BQ的方程得，yQ＝ 24m， m2＋48 灿若寒星
高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案
