做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
∴DF⊥平面PAE． ∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)． ∴D正确．] 7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°． 8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD， 面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角， ∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB， ∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA， ∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点， ∴BG⊥AC，DG⊥AC， ∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB． 又因为PA⊥平面ABCD， BE平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A， 因此BE⊥平面PAB． 又平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB， 所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝3，
AB
则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知 EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC平面ABC． 所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C． 13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC， ∴PA⊥BC． 又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知， BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC．
又∵AE平面PAC，PE平面PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°． ∴在棱PC上存在一点E， 使得AE⊥PC． 这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
6．2 垂直关系的性质(一)
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线______ a⊥α????________ ?b⊥α? 图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线 作用
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行 D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
??m∥n?m⊥α???n⊥α； ②??m∥n； ①
?m⊥α?n⊥α??
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
m⊥α?m∥α???
???n⊥α． ③?m⊥n; ④??n∥α?m⊥n?
A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知直线PG⊥平面α于G，直线，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题 10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．
6．2 垂直关系的性质(一) 答案
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α????a∥b 符号语言 ?b⊥α? 图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线 作用 作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．] 3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF， ∴PG最短，PF ∴有PG 4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC， ∴BC⊥PC，B、D均正确． ∴选C．] 5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．] 6．A [设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC， ∴PA⊥BC，又BC⊥PO， ∴BC⊥AO，同理AC⊥BO， ∴O为△ABC的垂心．]
北师大版高中数学必修二—学同步教学案 立体几何初步§ 垂直关系
