11.2 直线的倾斜角和斜率
一、教学内容分析
本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念.引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和x轴间的相对位置关系，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.
本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个. 二、教学目标设计
理解倾斜角与斜率的概念; 建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题. 三、教学重点及难点
直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系； 已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个. 四、教学用具准备 投影仪，ppt演示 五、教学流程设计
复习引入 概念 符号 相互关系 倾斜角、斜率、方向向量、法向量的相互联系 倾斜角 斜率 运用与深化(例题解析、巩固练习) 课堂小结并布置作业
六、教学过程设计
一、复习引入
用心 爱心 专心
第一节中，我们学习了一次方程ax?by?c?0(a,b不全为0)是直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲线.任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们构成的角就可以算出.我们取x轴作为第三条直线，考虑任意直线与x轴构成的角. 二、讲授新课 1、概念引入 ? 什么是倾斜角？
给出一些与x轴相交的直线（如y?x?1,y??x?1,x?1），学生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念.
若直线l与x轴相交于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角?叫做直线l的倾斜角.
那么y?3的倾斜角怎么规定呢？当直线l与x轴平行或重合（即l与y轴垂直）时，规定其倾斜角??0.
根据定义，直线的倾斜角?的取值范围是[0,?).特别地，l与x轴垂直时，??? 什么是斜率 当???2.
?2时，记?的正切值为k，把k?tan?叫做直线l的斜率；当???2时，直线l的
斜率k不存在.
2、概念深化 ?
随着倾斜角?在[0,?)内的取值逐渐增大，
y斜率的
值如何变化呢？
当???2时，斜率k?tan?存在，作出
Oy?tan?在[0,)(,?)的图像，正切函数
22??y?tan?在区间[0,)为单调增，在区间(,?)内
22调增，但在[0,???2?x也是单
?)(,?)内，却不具有单调性. 22?得到以下结论： (1)0????2
用心 爱心 专心
随着倾斜角?的不断增大，直线斜率不断增大，k?[0,??). (2)
?2????
随着倾斜角?的不断增大，直线的斜率不断增大，k?(??,0). 反之，k?0时,??(0,?);k?0时,??0;k?0时,??(,?). 22?? 直线l的倾斜角?、斜率k、方向向量d之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？
（1）已知倾斜角? 当???2时，k?tan?；当???2时，斜率k不存在.
方向向量d?(rcos?,rsin?),r?0.特别地，当???2时，显然rcos??0，则
(rcos?rsin?,)?(1,k)也是直线的一个方向向量.
rcos?rcos?（2）已知斜率k（??当k?0时，由??[0,?2）
?)，故倾斜角??arctank；当k?0时，由??(,?)，故22?????arctank.
?由于??，直线的一个方向向量d?(1,k).
2（3）已知一个方向向量d?(u,v) 当u?0时，直线垂直x轴，k不存在，???2；当u?0时，d?(1,)也是一个方向向
vu量，而k存在，再由上面的分析知(1,k)也是方向向量，故k?度研究得到）；倾斜角的研究要根据k?v（这个结论也可以从几何角uv的符号讨论（请学生课后自行完成）. u思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成） 3、例题解析
例1．已知直线l上两点A,B，求直线l的倾斜角?和斜率k. （1）A(1,3),B(5,?1)； （2）A(1,2),B(1,?1)；
用心 爱心 专心
高二数学：11.2《直线的倾斜角和斜率》教案(沪教版下)
