求轨迹方程的常用方法：
题型一 直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|P(M)}直接翻译成x,y的形式f(x,y)?0，然后进行等价变换，化简f(x,y)?0，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点A(2,3)任作互相垂直的两直线AM和AN，分别交x,y轴于点M,N，求线段
MN中点P的轨迹方程。
解：设P点坐标为P(x,y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M(0,2y)，
N(2x,0)(x,y?R)
?AM?AN ?kAM?kAN??1 ?0?32y?3???1(x?1)，化简得4x?6y?13?0(x?1)
2x?20?23当x?1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点P(1,)它也满足方程4x?6y?13?0，
2所以中点P的轨迹方程为4x?6y?13?0。 变式1
已知动点M(x,y)到直线l:x?4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。 （1） 求动点M的轨迹C的方程；
（2） 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点。若A是PB的中点，求直线m的斜
率。
题型二 定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。
例2 动圆M过定点P(?4,0)，且与圆C:x?y?8x?0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：根据题意||MC|?|MP||?4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。 ?2a?4
22?a?2，c?4 ?b?c2?a2?12
x2y2??1 故动圆圆心M的轨迹方程为
412变式2
BC?24，AC，AB上的两条中线长度之和为39，在△ABC中，求△ABC的重心的轨迹方程．
解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为
2重心，则有BM?CM??39?26．
3∴M点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
其中c?12，a?13．∴b?a2?c2?5．
x2y2??1(y?0) ∴所求△ABC的重心的轨迹方程为
16925
题型三 相关点法
此法的特点是动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x',y')的坐标，可先用x,y来表示x',y'，再代入曲线C的方程f(x,y)?0，即得点M的轨迹方程。
例3 如图，从双曲线x2?y2?1上一点Q引直线x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程
分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为(x1,y1)，则点N的坐标为(2x?x1,2y?y1)
?N在直线x?y?2上， ?2x?x1?2y?y1?2…①
又?PQ垂直于直线x?y?2，
?y?y1?1，即x?y?y1?x1?0…②
x?x131?x?x?y?1??122由①②解得?…③
13?y?x?y?11?22?又点Q在双曲线x?y?1上，?x1?y1?1…④
2222③代入④，得动点P的轨迹方程为2x2?2y2?2x?2y?1?0
0)C(1，0)，顶点A在抛物线y?x2上运动，求△ABC的重变式3已知△ABC的顶点B(?3，，心G的轨迹方程．
?3?1?x0?x?，?x?3x?2， ①??03解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得?又∴?y?y?0，?y0?3y． ②?3?2∵A(x0，y0)在抛物线y?x2上，∴y0?x0． ③
将①，②代入③，得3y?(3x?2)2(y?0)，
4即所求曲线方程是y?3x2?4x?(y?0)．
3
题型四 参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
?????????，OP?例4已知线段AA??2a，直线l垂直平分AA?于O，在l上取两点P，P?，使有向线段OP?????????·OP??4，求直线AP与A?P?的交点M的轨迹方程． 满足OP解：如图2，以线段AA?所在直线为x轴，以线段AA?的中垂线为y轴建立直角坐标系．
设点P(0，t)(t?0)， ?4? 则由题意，得P??0，?．
?t?t4由点斜式得直线AP，A?P?的方程分别为y?(x?a)，y??(x?a)．
ata两式相乘，消去t，得4x2?a2y2?4a2(y?0)． 这就是所求点M的轨迹方程．
y2O是坐标原点，?1，变式4设椭圆方程为x?过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，
42l上的动点P满足OP?111(OA?OB)，点N的坐标为(,)，当l绕点N旋转时，求： 222（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP|的最小值与最大值.
分析：（1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出x1?x2,y1?y2，进而表示出点P坐
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