概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 2?2P(X????)?2 ?切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X????) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CX)??CE(X) iiiii?1i?1nn（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C 2（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22（4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 0-1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 期望 方差 （4）常见分布的期望和方差 p np p(1?p) np(1?p) ? 1 pnM Na?b 21? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?(b?a)2 121 2?几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) 均匀分布U(a,b) 指数分布e(?) ? 1
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正态分布N(?,?2) ? n 0 ?2 2n ?2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n?2??E(X)??xipi? i?1E(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1nE(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy ??方差 D(X)??[xi?E(X)]2pi? iD(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx ????D(Y)??[xj?E(Y)]2p?j jD(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即 ?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]. 与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 1
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相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 ?XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。 |?|≤1，当|?|=1时，称X与Y完全相关：P(X?aY?b)?1 完全相关??正相关，当??1时(a?0)，?负相关，当???1时(a?0)， 而当??0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 ??XX????YX?XY?? ??YY?混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为?kl；k+l阶混合中心矩记为： ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))l]. （6）协方差的性质 （7）独立和不相关 (i) (ii) (iii) (iv) （i） （ii） cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。 若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 22第五章 大数定律和中心极限定理
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（1）大数定律 X?? 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi） 概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量Xn为具有参数n, p(0 （1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,?,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,?,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,?,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称 个体 样本 ??? （x1,x2,?,xn） 为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（x1,x2,?,xn）为一个统计量。 1
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