a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.
解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2
①
22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC
由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA c ②
由①，②解得b?4.
10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、
c，cos(A?C)?cosB?32,b?ac，求B. 2解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=解：由 cos（A?C）+cosB=
3?(负值舍掉)，从而求出B=。 2333及B=π?（A+C）得 cos（A?C）?cos（A+C）=， 223 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）=,
23 sinAsinC=.
4又由b=ac及正弦定理得
2sin2B?sinAsinC,
故 sinB?23， 4sinB?于是 B=
33 或 sinB??（舍去）， 222ππ 或 B=.
332又由 b?ac知b?a或b?c
所以 B=
π。 316.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。
510 ,sinB?510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310 ,cosB?1?sin2B?510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4
（II）由（I）知C? 由
3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b
又∵ a?b?2?1
∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 17.（2009全国卷Ⅱ理）设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
32，b?ac，求B 23分析：由cos(A?C)?cosB?，易想到先将B???(A?C)代入
2cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cosB?33得cos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦22。
公式展开得sinAsinC?32；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得4sin2B?sinAsinC，进而得sinB?了检验，事实上，当B??2?3.故B?或。大部分考生做到这里忽略
3322?1时，由cosB??cos(A?C)??，进而得323cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，应舍去。
22?2也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?。不过这种方法学生不易想到。
3评析：本小题考生得分易，但得满分难。 24.(2009湖南卷理). 在?ABC，已知
????????????????2AB?AC?3AB?AC?3BC2，求角A，B，C的大小.
解 设BC?a,AC?b,AB?c
????????????????由2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以
cosA?3 2又A?(0,?),因此A??6
????????3222由3AB?AC?3BC得bc?3a，于是sinC?sinB?3sinA?
4所以sinC?sin(5?3133?C)?sinC)?，sinC?(cosC?，因此 64224?2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?0
3??5??4?由A=知0?C?，所以?，2C??，从而
36633?2???,故 2C??0,或2C???,，既C?,或C?6333?2????2?A?,B?,C?,或A?,B?,C?。
636663
解三角形历年部分高考题——教师版
