将线性代数方法应用在概率论教学中的探索与实践

由天下分享时间：2025/6/5 12:08:01 加入收藏我要投稿点赞

将线性代数方法应用在概率论教学中的探索与实践*

凌春英

【摘要】【摘要】利用线性代数思想，探讨将线性代数方法应用在概率论教学中的方式与技巧，从而初步揭示了这两门基础理论课程之间的紧密联系. 【期刊名称】哈尔滨师范大学自然科学学报【年(卷),期】2016(032)003 【总页数】3

【关键词】【关键词】矩阵乘法;联合分布;相互独立;线性方程组

0 引言

《线性代数》是高等院校中经济类、管理类、理工类各专业学生必修的重要基础理论课程，它是应用性较强的一门学科[1].它的生命力和发展动力都源自于它与其他学科之间的密切联系，没有了这层关系，它就失去了存在的意义，成为了“无水之源”、“无本之木”[2].该文就利用矩阵乘法求解二维离散型随机变量的边缘分布和利用线性方程组求解概率密度函数中的待定系数两个教学实例，说明线性代数方法在概率论教学中的应用.

1 矩阵乘法在二维离散型随机变量中的应用

二维离散型随机变量(X,Y)在点(xi,yi)处的概率为 P{X=xi,Y=yj}=pij (i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)

称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布.常用见表1：

笔者发现，二维离散型随机变量的联合概率分布Pij和矩阵中元素aij非常相似.用矩阵方法来求解离散型随机变量的边缘分布、判断是否相互独立等，可以达到简化计算的效果.

表1

构造二维离散型随机变量的联合概率分布矩阵X的边缘分布矩阵X=[p1. p2. … pn.]T，Y的边缘分布矩阵Y=[p1. p2. … pm.].令，则X=PA,Y=BP；计算XY，若XY=P，则X与Y相互独立，若XY≠P，则X与Y不相互独立. 例1[3] 已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 (1)求X和Y的边缘分布；(2)判断X与Y是否相互独立. 解 (1)设，求得，

则X和Y的边缘分布为 (2)令

故X与Y不相互独立.

将矩阵乘法的计算方法运用到二维离散型随机变量的求解过程中，能够起到简化计算、提高计算的准确率等效果.尤其是当X和Y的取值较多时，矩阵乘法在计算上的优势会更加凸显出来.

2 线性方程组在求解概率密度函数中的待定系数的应用

此类问题的解题思路是：利用题目中所给的已知条件列出线性方程组，再利用初等行变换理论求解线性方程组.

例2[4] 已知连续型随机变量X的概率密度为且有E(X)=0.5，D(X)=0.15.求系数a,b,c.

解由和D(X)=0.15，可得三元一次非齐次线性方程组：

将该线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为行最简形矩阵：则得到原方程组的唯一解：a=12,b=-12,c=3.

将求解线性方程组的方法运用到求解概率密度函数的待定系数上，能够起到简化计算、提高计算的准确率的效果.尤其是当系数较多时，这种方法的优势更加明显.

该文通过两个例子说明了线性代数方法在概率教学中的应用，其实线性代数这门学科在日常生活的各个方面也有广泛的应用：如利用逆矩阵进行密码的解码、运用矩阵的运算表示城市(地点)之间的通达情况、经济学中著名的投入产出模型也基于线性代数的思想等等[5]. 参考文献：

[1] 郑君文，张恩华著.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，2003. [2] 沈灏.线性代数及其应用导论[M].北京：人民邮电出版社，2010.

[3] 李允，侯嫚丹.经济应用数学基础(三)概率统计[M]. 哈尔滨：工业大学出版社，2011.