2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
一、选择题(每小题5分，共50分)
1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )
(A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)无穷多个
2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立，则mn=( )
(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16 3.若x＞z，y＞z，则下列各式中一定成立的是( )
(A)x+y＞4z (B)x+y＞3z (C)x+y＞2z (D)x+y＞z 4.规定[a]表示不超过a的最大整数，当x=-1时，代数式2mx
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-3nx+6的值为16，
则[m-n]=(
)
(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4 5.如图1，在
ABCD中，AC与BD相交于O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，那么图中的全等三角形共有( )
(A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对
6.如图2，在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成S1，S2，S3，S4四部分，则S2和S4的大小关系是( )
(A)S2＜S4 (B)S2=S4 (C)S2＞S4 (D)无法确定
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7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1，simplify an algebraic expression, then
=( )
(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1
(英汉小词典simplify：化简；algebraic expression：代数式)
8.二(1)班共有35名学生，其中的男生和的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
9.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：
①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是( ) (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④
10.有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度，得A尺比B尺长6个单位；用A尺量度，得B尺比C尺长10个单位；则用B尺量度，A尺比C尺( ) (A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位
二、填空题(每小题5分，共50分)
11.若方程|1002x-1002|=1002的根分别是x1和x2，则x1+x2=______. 12.分解因式：a
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+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.
13.对于任意的自然数n，有f(n)=，则f(1)+f(3)+f(5)+?+f(999)=______.
14.x1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且
，，，，
，
,则x1x2x3x4x5x6=______.
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15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD，AE=DE，CE⊥AD，CE is a bisector to ∠BCD，then the ratio
of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.
(英汉小词典trapezoid：梯形；bisector：平分线；ratio：比值；
quadrilateral：四边形)
16.已知a，b，c，d为正整数，且______.
，，则的值是______；的值是
17.一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有______种可能，它的最大值是______.
18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm，那么这三个舱中长度最大的是_____mm，长度最小的是_____mm.
19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是______，最小值是_____. 20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有_____个；如果每年按52周计算，每周接到的热线电话的数量相同，那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.
三、解答题(每题10分，共30分)
21.民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则带物品的质量为b千克(b＞a)时，所交费用为Q=10b-200(单位：(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ (2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？
(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q. 22.如图5，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF. (1)证明四边形AECF是菱形； (2)计算折痕EF的长； (3)求△CEH的面积.
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要收取一定的费用，当携元).
23.如图6，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B位于同一竖直线上，相距b格. (1)若a=5，b=4，则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点？
(2)若a，b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论. (3)若a，b互质，且a＞b＞8，△OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a，b的值.
参考答案
一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A 二、11.2004 12.(a+b+ab) 13.5 14.6 15.7:9 16.21；7 17.2；80 18.2941；2059 19.15；-6 20.45；7800 三、21.(1)Q=35310-200=150(元)； (2)设小王携带了x千克物品，则 10x-200=100，解得x=30.
(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则 10a-200=0，解得a=20. 所以m=b-a=b-20， 即b=m+20.
故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).
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22.(1)如图1，因为AB∥CD，所以AF∥CE，CF∥HE，根据对称性，知∠CEH=∠AED，因为D、E、C三点共线，所以A、E、H三点共线，所以AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF， 所以四边形AECF是菱形.
(2)设AF=x，则
CF=x，BF=9-x.
在△BCF中，CF=BF+BC， 所以x=(9-x)+3， 解得x=5，即CF=5，BF=4. 过E作EM⊥AB交AB于M，则 MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1， EM=3.
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所以.
(3)根据对称性，知△CEH≌△AED，
所以S△CEH=S△AED=DE2AD=(AF-MF)2AD=3433=6(cm).
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23.(1)如图2，a=5，b=4，△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.
(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x，竖直距离为y(x，y均为整数)，则
S△AOB= S△AOP+S△BOP=ay+bx，
所以ab=ay+bx，
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最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总（含答案与提示） - 图文
