第 三 章
3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为：
?1.2t0h(t)?10?12.5esin(1.6t?53.1)
试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp和调节时间ｔs。 解：依题意
t?tp时
h?(tp)?0，并且
tp是使
h?(tp)第一次为零的时刻(
tp?0)
h(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.10)
?10?12.5e?1.2t(cos53.10sin1.6t?sin53.10cos1.6t)
可见，当
h?(t)?15e?1.2tsin(1.6t?53.10)?20e?1.2tcos(1.6t?53.10)?25e?1.2tsin1.6t
1.6tp???tp?1.96h?(t)第一次为0时，
?1.2?1.96，所以
h(tp)?10?12.5esin(1.6?1.96?1800??53.10)?10.95
10.95?10?100%?9.5%h(?)10 t0.95h(?)?h(ts)?1.05h(?)，即
根据调节时间s的定义：
?%?h(tp)?h(?)?100%?9.5?10?12.5e?1.2t?0.5，得
ts??所以：
ln0.043.212??2.681.21.2 ?%?9.5%tp?1.96sts?2.68s
3-5设图3-3是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K１和Kt，使系统ωｎ＝６、ζ＝１。
图3-3 飞行控制系统
分析：求出系统传递函数，如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照，从而确定相应参数。
25K1s(s?0.8)Kts?1 解 对结构图进行化简如图所示。
25K125K1s(s?0.8)?(s)??225K1(Kts?1)s?(0.8?25K1Kt)s?25K11?s(s?0.8)故系统的传递函数为
和标准二阶系统对照后可以求出：
K1?2?n25?1.44,Kt?3-7已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。
s?4s?4s?4s-7s-8s?10?0
分析 系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数，虚根值可通过构造辅助函数求得。
解 由系统特征方程，列劳思表如下：
654322??n?0.8?0.3125K1
s6s5s4s314?50?44?50?7?81010
（出现了全零行，要构造辅助方程）
42由全零行的上一行构造辅助方程?5s?5s?10?0，对其求导，得
故原全零行替代为
?20s3?10s?0
s3s2s1s0?20?2.5?9010?1010
表中第一列元素变号两次，故右半s平面有两个闭环极点，系统不稳定。
42对辅助方程?5s?5s?10?0化简得
(s2?1)(s2?2)?0①
由D(s)/辅助方程，得余因式为
(s-1)(s+5)=0 ②
求解①、②，得系统的根为
s1,2??j2s3,4??1s5?1s6??5所以，系统有一对纯虚根。
3-9 已知单位反馈系统的开环传递函数
G(s)?（1）
100(0.1s?1)(s?5)
50s(0.1s?1)(s?5) 10(2s?1)s2(s2?6s?100)G(s)?（２）
G(s)?（３）
2试求输入分别为 r(t)?2t和 r(t)?2?2t?t时，系统的稳态误差。 分析：
用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。对复杂的输入表达式，可分解为典型输入函数的线性组合，再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，最后叠加起来即为总的误差。 解 （1） 判别系统的稳定性
D(s)?(0.1s?1)(s?5)?100?0
10D(s)?(s?10)(s?5)?1000?s2?15s?1050?0
s2s11151050
可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K＝100/5=20,系统的型别??0，
s01050当r1(t)?2时，
ess1?22??0.0951?Kp1?2022???Kv0
当r2(t)?2t时，
2ess2?22t2e????r3(t)?t?2?ss3K02时，a当
所以，
ess ? ，
r?2t
2 21??????(2)判断稳定性
ess 2r?2?2t?tD(s)?s(s?10)(s?5)?500?s3?15s2?50s?500
s4s3s2s1s01696.75622910100201010
劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K＝10/100=,系统的型别??2，
当r1(t)?2时，
ess1?22??01?Kp1??
22?＝0Kv?
当r2(t)?2t时，
2ess2?22t2e??＝20r3(t)?t?2?ss3K0.1a2时，当
0
essess
r?2t
0?0?20＝20
r?2?2t?t23-11设随动系统的微分方程为
d2c(t)dc(t)T1??K2u(t)2dtdt
u(t)?K1[r(t)?b(t)]
db(t)T2?b(t)?c(t)dt
其中，T１、Ｔ２和K２为正常数。若要求r(t)=1+ t时，c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常数ε０，试问K１应满足什么条件
分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。 解：对方程组进行拉普拉斯变换，可得
(T1s2?s)C(s)?K2U(s)
U(s)?K1[R(s)?B(s)] (T2s?1)B(s)?C(s)
按照上面三个公式画出系统的结构图如下：
R k1 B u k2s(T1s?1)C 1T2s?1
定义误差函数E(s)?R(s)?C(s)
K1K2s(T1s?1)E(s)R(s)?C(s)C(s)?e(s)???1??1??(s)?1?K1K2R(s)R(s)R(s)1?s(T1s?1)(T2s?1) 所以
?1?
s?0K1K2T2s?K1K232TT12s?(T1?T2)s?s?K1K2
s?0s?0ess?limsE(s)?lims?e(s)R(s)?lims[1??1?K1K2T2K1K2
1?K1K2T211k1?k1?ess???0K1K2k2(?o?T2)，因此，当k2(?o?T2)时，满足条件。令，可得
K1K2T2s?K1K211](?2)32TTss 12s?(T1?T2)s?s?K1K2
自动控制原理课后答案(第五版)
