百度文库 - 让每个人平等地提升自我
4．5.4 微积分基本定理
一、基础达标
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是
b①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)??a ；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝
b－ans′(ξi)； ④它在时间段[a，b]内的位移是s＝?b?s′(t)dt.
a
A．① B．①② C．①②④ D．①②③④ 答案 D
2．若F′(x)＝x2
，则F(x)的解析式不正确的是
A．F(x)＝13
3x
B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13
3
x＋1
D．F(x)＝13
3x＋c(c为常数)
答案 B
解析 若F(x)＝x3
，则F′(x)＝3x2
，这与F′(x)＝x2
不一致，故选B. 3.?1?(ex＋2x)dx等于
0
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 答案 C
解析 ?1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2
)|1
1
0＝(e＋12
)－(e0
＋02
?)＝e.
0
2
4．已知f(x)＝???
x，－1≤x≤0，
??
1，0 ，则?1?f(x)dx的值为 －1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3422A. B. C. D．－ 2333答案 B 解析 ?f(x)dx＝?xdx＋?1dx＝ 1 0 2 1 ?－1?－1?0 ?? 3 x3?0 －1 ＋1 14 ＝＋1＝，故选B. 33 5．设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，若?1f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______． 2 ?0 答案 3 3 11322 解析 由已知得a＋c＝ax0＋c，∴x0＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝. 3336．(2013·湖南)若?Txdx＝9，则常数T的值为________． 2 ?0 答案 3 解析 ?Txdx＝ 2 ?0 13?T13 x?0＝T＝9，即T3＝27，解得T＝3. 3?3 3 7．已知?1 (x＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝?t(x＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b3 ?－1?0 的值． 解 ∵f(x)＝x＋ax为奇函数， ∴?1 (x＋ax)dx＝0， 3 3 ?－1?－1?－1 ∴?1 (x＋ax＋3a－b)dx ＝?1 (x＋ax)dx＋?1 (3a－b)dx 3 3 ?－1 ＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b. ∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3，① 又f(t)＝ ?x＋ax2＋3a－bx??t ?42??0??? 4 ＝＋＋(3a－b)t为偶函数， 42∴3a－b＝0，② 由①②得a＝－3，b＝－9. 二、能力提升 t4at2 2 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 8． sindx等于 2 ( ) A. πππ－2 B .－1 C．2 D. 424 2 x答案 D 解析 sindx＝ 2 2 x1－cos xdx＝2π－2＝，故选D. 4 12x9．(2013·江西)若S1＝?2xdx，S2＝?2dx，S3＝?2edx，则S1，S2，S3的大小关系为 ?1 ?1x?1 ( ) A．S1＜S2＜S3 C．S2＜S3＜S1 答案 B 2 13?7 解析 S1＝?xdx＝x?1＝， 3?3? 221 B．S2＜S1＜S3 D. S3＜S2＜S1 S2＝ ?xx?xdx＝ln x?＝ln 2＜1，S3＝?2edx＝e?1 ?1? 2 1 ＝ 72 e－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B. 3lg x，x＞0，?? 10．设f(x)＝?x＋?a3t2dt，x≤0. ???0 答案 1 解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋?a3tdt＝x＋t|＝x＋ 2 3 若f[f(1)]＝1，则a＝________. ?0 a3， 所以f(0)＝a.因为f[f(1)]＝1，所以a＝1，解得a＝1. 17 11．设f(x)是一次函数，且?1f(x)dx＝5，?1xf(x)dx＝，求f(x)的解析式． 6?? 0 0 3 3 解 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 111 ?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx＝a＋b＝5， 1 ?0?0 ?0?0?0 12 2111 ?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx＝?(ax)dx＋?bxdx＝a＋b＝. 1 ?0?0?a 1312176 3 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1??2a＋b＝5由?1117??3a＋2b＝6 x??a＝4 ，得? ??b＝3 .即f(x)＝4x＋3. ? 12．若函数f(x)＝?x，x∈1，2]， ?2，x∈2，3]. 解 由积分的性质，知： 3 1 2 x3，x∈[0，1]， 3 求?3f(x)dx的值． ?0 ?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx＋?f(x)dx ?0?0?1?2 ＝?1xdx＋?2xdx＋?32dx 3 x?0?1?2 ＝ 14284＝＋2－＋－ 433ln 2ln 2544＝－＋2＋. 123ln 2三、探究与创新 13．求定积分 |x＋a|dx. 解 (1)当－a≤－4即a≥4时， 7 ＝7a－. 2 原式＝ (x＋a)dx＝ (2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时， 原式＝?－a[－(x＋a)]dx＋ (x＋a)dx ?－4 9??a＝－4a＋8＋?＋3a＋? 2?2?2252 ＝a－a＋. 2 (3)当－a≥3即a≤－3时， a2 2 4 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 原式＝ [－(x＋a)]dx＝ 7 ＝－7a＋. 2 综上，得 ??25 |x＋a|dx＝?a－a＋，－3＜a＜4， 2 7 7a－，a≥4， 2 5 ?2?－7a＋72，a≤－3.
2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理4.5.4微积分基本定理分层训练湘教版选
