∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CE＝AB， ∴CE＝×6＝3， ∵AD＝4， ∴∴
， ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明 ME＝MD＝MB＝MC ．
（2）初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏的思路完成证明过程．） （3）推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
（3）根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据（2）易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
（2）证明：连接MD、ME ∵BD、CE是△ABC的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC＝∠CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC
（3）证明：取BG中点N，连接EN、FN ∵CE、AF是△ABC的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG
∵由（2）证得点B、C、D、E在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点G是△DEF的内心
【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等 27．如图1，已知抛物线y＝﹣x+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP． （1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；
（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．
2
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；
（2）利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P（m，﹣m+3m+4），所以m＝4|4﹣（﹣m+3m+4|，然后解方程4（m﹣3m）＝m和方程4（m﹣3m）＝﹣m得P点坐标；
（3）设P（m，﹣m+3m+4）（m＞），当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ＝m﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程4+（12﹣3m）＝m，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m﹣3m|＝m，然后解方程m﹣3m＝m和方程m﹣3m＝﹣m得此时P点坐标．
【解答】解：（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y＝﹣x+bx+c得∴抛物线解析式为y＝﹣x+3x+4，
2
2
2
2
2
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2
2
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2
2
2
2
2
，解得，
当y＝0时，﹣x+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（﹣1，0）；
故答案为y＝﹣x+3x+4；（﹣1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴∴
＝＝
，
＝＝4，即AQ＝4PQ，
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2
设P（m，﹣m+3m+4），
∴m＝4|4﹣（﹣m+3m+4|，即4|m﹣3m|＝m， 解方程4（m﹣3m）＝m得m1＝0（舍去），m2＝解方程4（m﹣3m）＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝综上所述，点P的坐标为（
2
22
2
2
，此时P点坐标为（，此时P点坐标为（）；
，，
）； ）；
，）或（，
（3）设P（m，﹣m+3m+4）（m＞），
当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2， 则PQ＝4﹣（﹣m+3m+4）＝m﹣3m， ∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，
∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m﹣3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴
＝
，即
＝
，解得Q′B＝4m﹣12，
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2
2
∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m， 在Rt△AOQ′中，4+（12﹣3m）＝m，
整理得m﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为（4，0）或（5，﹣6）； 当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m﹣3m|＝m，
解方程m﹣3m＝m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
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2
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解方程m﹣3m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝2，此时P点坐标为（2，6）， 综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）
2
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2020-2021学年最新江苏省盐城市中考数学模拟试卷及答案解析
