假定在梁的纵截面上有y方向正应力?y存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出?y??y(y)的表达式； 2．证明：?ymax??h?xmax，?为中性面的曲率半径。 4? 解：1．先求?y(y)表达式： ?Fy?0
? ?Fy??2???y?1??y?d??cos??22??h?x2ysin?2?1?dy?0
yO' 即 2?y?ysin?22??y?h2M?Mz?（?x??zy） ysindy?0，
IzIz2Mz?12h2 即 2?y?ysin?2sin?(y?)?0
2Iz224? ?x-??2 ?2 22 ???d? ∴ ?y?Mzh2?(?y2) 2?yIz4?y?x?2（a）
Ox
2．由（a）式，令
d?ydy?0，得y = 0，则
(a)
?h2Mz?hMz?hMz?h ?y,max???????xmax （b）
8?yIz4?yIz4?yWz4?h2 3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；
2．已知D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800N·m；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力?max。
解：静力平衡： Ma?Ms?Mz 变形谐调：?a??s得
（1）
MaMs ?EaIaEsIs（2） （3） （4）
习题3-9图
444π(D3?D2)π(D2?D14) Ia?，Is?
6464EI 由（2）Ma?aaMs
EsIs 代入（1），得 (1? Ms? ∴ Ma? 1． ?s? ?a?EaIa)Ms?Mz EsIs（5） （6）
EsIsMz
EsIs?EaIaEaIaMz
EsIs?EaIaD1D2?MsEsMz64EsMzy?y?，（） y??y??44422IsEsIs?EaIaπ [Es(D2?D14)?Ea(D3?D2)]D3D2?MaEaMz64EaMzy?y?，（） y??y??44422IaEsIs?EaIaπ [Es(D2?D14)?Ea(D3?D2)] 2． ?smax? ?amax?64?210?800?18?10?3π[210?(36?20)?70?(44?36)]?1064?70?800?22?10?34444?12?133MPa
?54.1MPa
π[210?(364?204)?70?(444?364)]?10?12 3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600N·m。试求： 1．梁内最大拉、压正应力；
— 68 —
2．中性轴的位置。
解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ Ec = 2Et，??E?
∴ ?沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。 1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc
11 由?Fx?0，得：??cmax?hc?b??tmax?ht?b?0
22?hh?hc 即 cmax?t? （1）
?tmaxhchc 又∵
习题3-10图
?C?C?cmaxEc?cmax2?cmaxh???2c ?tmaxEt?tmax?tmaxht（2）
hC 由（1）、（2），得
h?hc2hc2hc2 即 (h?hc)2?2hc ??hchth?hc?t?hc?(2?1)h?41.4mm?? ?（中性轴的位置）
?ht?(2?2)h?58.6mm?? 2．Mz?ht (a)
?t
?Aty?tdA??Acy?cdA??AtyEt?tdA??AcyEc?cdA?dA?2?AtyEt?tdA?y?Acy?2Et?cdA
? ?Et???Aty?tdA????2y?cdA??Et?Ac???Aty?y??Acy??EdA??t(It?2Ic) ???3bht3bhcbh3 其中It?2Ic??2??(6?42)
333Mz1 ∴ ??Et(It?2Ic) ∴ ?cmax? ?Ec?hc?EcMz2Mzhc?hc
EtIt?2IcIt?2Ic?8.69MPa（压）
2?600?41.4?10?350?1003(6?42)?10?123Mz600?(2?2)?100?10?3ht?ht??6.15MPa（拉） ∴ ?tmax??It?2Ic50?1003?12?10(6?42)3 3－11 试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合
aFP?FP4?4?FP ? ?a?333a2a?aa(a)2226 （b）为单向拉伸
F ?b?P
a2?4 ∴ a?
习题3-11图 ?b3Et
3－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力：
1．在点1、2、3处均有40 kN的压缩载荷； 2．仅在1、2两点处各承受40 kN的压缩载荷； 3．仅在点1或点3处承受40 kN的压缩载荷。
FNx40?103解：??2.67Mpa
A200?75?10?6
Mz40?103?0.125??40MPa W75?1002?9?106 — 69 —
习题3-12图
1． ?A3FNx3?40?103??B?????8MPa
A200?752FNxMz?2?40?10???AW200?75380?103? 2． ?A??1252??15.3MPa 275?2006 3．在点1加载： ?A?FNxMz?40?10340?103?125??????12.67MPa
AW200?7575?20026?FNxMz?40?10340?103?125????7.33MPa ?B?AW200?7575?20026 由对称性，得
在3点加载：?A?7.33MPa，?B??12.67MPa
3－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚?= 5mm，管在两端承受轴向载荷FP。已知开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩Iz?0.177?10?6m4，Fp = 25kN。试求： 1．开孔处横截面上点F处的正应力； 2．最大正应力。
解：FNx?FP?25kN
Mz?Fp?(25?18.57)?10?3?160.75N·m A?(50?5?2?40?5)?10?6?700?10?6m2
FM 1． ?F?Nx?z?18.57?103??18.85MPa
AIzFNx AM ?z?(50?18.57)?10?3
Iz2． ?max?
习题3-13图
?64.26MPa（在y正向最大位置）
3－14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，已知FP = 60kN。试求： 1．横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h； 2．在上述h值下点A的正应力值。
hFP(?d)FMF2 解：?A?Nx?z?P? AWz40h40h26F2h?3d) ?P(（1）
20h2 ??A6hd?2h2习题3-14图
?0， 1．令?0 ?hh4 ∴ h = 3d = 75mm （2） 2．由（1）、（2）式得：
60?1032?75?3?25 ?A?()?40MPa
20752 3－15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试：
1．确定截面B－B上的应力分布；
2．假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B－B上的应力分布；
3．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B－B上最大压应力之比。
0.795 yyA OB
z14.526
(a) — 70 —(b)
?13.73MPa?14.43MPaOyACO BB z12.6mmyACOO B14.1mm?15.32MPa16.55MPazC
(c)
zCz
(d)
解：1．?N1FNx445?106?????0.795MPa
A1π?26.724 ?MmaxMz445?61?10?3???14.526MPa Wz1π?26.73?10?932??14.526?0.795?13.73MPa ∴ ?max???14.526?0.795??15.32MPa ?max 沿y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。
?4?445?1064FNx445?106???0.795???1.06MPa ??126.72A23π?26.72(1?)π(26.72?()424MMz16 ?M2max?z??14.526??15.494MPa
14Wz215Wz1(1?())2??15.494?1.06?14.43Mpan ?max
???15.494?1.06??16.55MPa ?max2． ?N2? zC为中性轴，沿y轴应力分布如图（d） ??2?1?15.3216.55??1.08?0.926 3． ?，或???216.55?115.32 3－16 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向
力FP。若已知FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。 解：A?5?10?10?6?50?10?6m2
5?10?21 Wy??10?9??10?6m3
61210?521 Wz??10?9??10?6m3
624 FNx = 1 kN
My?1000?5?10?3?5N·m Mz?1000?2.5?10?3?2.5N·m ?max?FNxMyMz?? AWyWzyAMz10CMyz5 (a)
习题3-16图
????100052.5??106?140MPa ?? ??11??50??1224?? 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。
3－17 钢制立柱上承受纵向载荷FP如图所示。现在A、B、D三处测得x方向的正应变
— 71 —
?x(A)??300?10?6，?x(B)??900?10?6，?x(D)??100?10?6。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求：
1．力FP的大小；
2．加力点在Oyz坐标中的坐标值。 解：A?100?60?10?6?6?10?3m2
60?1002 Wz??10?9?100?10?6m3
6100?60?2 Wy??10?9?60?10?6m3
6 FNx??FP Mz?FP?y My??FPy ?A?FNxMzMy?FFy?FPz???(P?P?)?106 （1） AWzWy600010060?FPFy?FPz（2） ?P?)?106
600010060?FFyFz ?D?(P?P?P)?106 （3）
600010060 ??E? （4）
yz?1?P?P)?106?FP?200?109?(?300?10?6) 由（1）、（4），(600010060yz?1?P?P)FP??60 即 (（5） 600010060zy?1??P)FP??180 由（2）、（4），(（6） 600010060yz?1?P?P)FP??20 由（3）、（4），(（7） 600010060 解（5）、（6）、（7）：zP?0.02m?20mm
?B?( yP??0.025m??25mm FP = 240 kN
3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明：
1．当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：
zy P?P?1
bh66 2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。
解：1．写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。
F(F?zP)?z(FPyP)?y ???P?P3 ?Ahbbh3习题3-18图
ADCzhFPK(yP.zP)By(y.z)F1212????FP?zPyP? ??（1） 1?2z?2y
?hb?bh??1212??hb 将A(?,?)代入（1）式，并使正应力为零，得
22FP所作用的直线方程
zy 1?P?P?0
bh66b
(a)
nzotCyotzFPn
— 72 —
y(b)
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