空间几何体的表面积和体积
能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积； 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．
一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体 的平面展开图． 二、特殊几何体的定义
1. 直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． 2. 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
3. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的性质：
（ 1）正棱锥的侧棱相等； （ 2）侧面是全等的等腰三角形； （ 3）侧棱、高、底面构成直角三角形．
4. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台． 正棱台的性质：
（ 1）正棱棱台的侧棱长相等 （ 2）侧面是全等的等腰三角形；
（ 3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形． 三、侧面积与表面积公式
1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
（1）设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式： S 直棱柱侧 ＝ ch，即直棱柱的 侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
（2）设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：
S 正棱锥侧 ＝
= . 即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
（3）设正 n 棱台下底面边长为 a、周长为 c，上底面边长为 a′、周长为 c′，斜高为 h′，则正 n 棱台的
侧面积公式： S 正棱台侧＝ (4)
面积 (或全面积 )等于底面积与侧面积的和，即 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1) (2) (3) (4)
于它的侧面积与底面积的和，即
S 圆柱侧＝ (r 为底面半径， l 为母线长 )． S圆锥侧＝ (r为底面圆半径， l为母线长 )．
S圆台侧＝ (R、r 分别为上、下底面半径， l 为母线长 )．
圆柱、圆锥、圆台的表面积等S表＝S底＋ S侧.
r
棱柱、棱锥、棱台的表S表＝S底＋ S侧.
(5) 若圆锥底面的半径为 r ，侧面母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 则， 360 3. 四、体积
1.长方体的体积： 长方体的长、宽和高分别为 a、 b、 c，长方体的体积 V 长方体＝ abc 2．棱柱和圆柱的体积：
(1)柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积 S和高 h 的积，即 V 柱体＝ Sh. (2)底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：
(1)如果一个锥体 (棱锥、圆锥 )的底面积为 S，高是 h，那么它的体积 V 锥体＝ Sh. (2)如果圆锥的底面半径是 r，高是 h，则它的体积是 V 圆锥＝ 4．棱台和圆台的体积： (1)如果台体的上、下底面面积
分别为
(2)如果圆台的上、下底面半径5．球的体积：
由球的半径 R计算球表面积的公式： S球＝.即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍．
S′、S，高是 h，则它的体积是 V
台体
＝ r′、r，高是 h，则它的体
如果球的半径为 R，那么球的体积 V 球 ＝ . 6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等．
7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的
一段劣 弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
类型一 表面积
例 1： 已知正四棱台的上、下底面边长分别为 3 和 6 ，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱 台的高是 ( )
人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积和体积(教师版)
