以特殊三角形为背景的计算与证明
一、以等腰三角形为背景的计算与证明
1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是(B)
(第1题图) A. y＝
32
x2
B. y＝3x2 C. y＝23x2
D. y＝33x2
解：∵ON是Rt∠AOB的平分线， ∴∠DOC＝∠EOC＝45°. ∵DE⊥OC，
∴∠ODC＝∠OEC＝45°， ∴CD＝CE＝OC＝x，
∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x. ∵∠DFE＝∠GFH＝120°， ∴∠CEF＝30°， ∴CF＝CE·tan 30°＝3
3
x， ∴EF＝2CF＝23
3x，
∴S132
△DEF＝2DE·CF＝3x.
∵四边形FGMH是菱形， ∴FG＝MG＝FE＝23
3x.
∵∠G＝180°－∠GFH＝60°， ∴△FMG是等边三角形， ∴S△FGH＝33
x2
， ∴S232
菱形FGMH＝3
xx，
∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝3x2
. 故选B.
1
(第2题图)
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBE＝∠BAD.
(第3题图)
3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D. 证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D，
∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC， ∴∠C＝2∠D.
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°. (1)若AD＝2，求AB.
(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.
(第4题图)
(第4题图解)
解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F. ∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，
2
∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°. 易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形， ∵AD＝2，
∴AE＝DE＝2
2
＝2，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°， ∴BE＝
DEtan30°＝2
3
＝6，
3
∴AB＝AE＋BE＝2＋6.
(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝xxtan30°＝3
＝3x，
3∴BD＝x2
＋（3x）2
＝2x. ∵∠BDF＝60°， ∴∠DBF＝30°， ∴DF＝1
2
BD＝x，
∴BF＝BD2
－DF2
＝（2x）2
－x2
＝3x， ∴CF＝3x，
∵AB＝AE＋BE＝x＋3x， CD＝DF＋CF＝x＋3x， AB＋CD＝23＋2， ∴x＝1，
∴AB＝3＋1.
二、以直角三角形为背景的计算与证明
5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5. (1)求DB的长．
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
(第5题图)
(第5题图解)
3
中考数学总复习 专题提升八 以特殊三角形为背景的计算与证明 - 副本(含答案)
