（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??213121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，
1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?
16a?4b?4?01??b??3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
DQCDDQ210 即??,DQ?
ABCA57710252525所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t? ?1?777725所以t的值是
7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO
10QEDEQEDQDE 即 ???7?BOABAO453所以QE=
86620208，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)
8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2所以直线AQ的解析式为y? x? 联立?8244141?y?x???41411?x??128?2由此得? 所以M(,)
241?y?8x?24??4141则：在对称轴上存在点M(
10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝
2128,)，使MQ+MC的值最小。 2411． 3（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
yy
AOBxAOBEx
GCD图 9CD图 10
（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?1分
?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ????????2分
?c??3??a?1?解得：?b??2 ????????3分
?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ????????3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?????????1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ????????2分 将C点的坐标代入得：a?1 ????????3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ????????3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ????????4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3
∴E点的坐标为（－3，0） ????????4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ????????5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3
∴E点的坐标为（－3，0） ?????????4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3） ?????????5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?221?17 ????6分 2y1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），
?1?17代入抛物线的表达式，解得r? ???7分 2AMO1rrNBx∴圆的半径为
1?17?1?17或． ?????7分
22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．?????8分 设P（x，x2?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x2?x?2．
S?APG?S?APQ?S?GPQ?当x?1(?x2?x?2)?3 ????????9分 21时，△APG的面积最大 2?1?2此时P点的坐标为?,?2715??，S?APG的最大值为． ????????10分 4?811．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得
??0＝36a－6b＋8
? 解得?0＝4a＋2b＋8?
?
?8?b＝－3
2a＝－
3
28
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8
33（3）∵AB＝8，OC＝8
1
∴S△ABC ＝×8×8=32
2
（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴
40－5mEFBEEF8－m
＝ 即＝ ∴EF＝ ACAB1084
4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
5∴
FG4440－5m＝ ∴FG＝·＝8－m EF554
11
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
22111
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由：
111
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．
12.（12分）已知：如图14，抛物线y??相交于点B，点C，直线y??
323点B，与直线y??x?bx?3与x轴交于点A，
443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积． （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）在y??32x?3中，令y?0 4C E y 3??x2?3?0
4?x1?2，x2??2
·················································· 1分 ?A(?2，0)，B(2，0) ·
A N M D O P B x
二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）
