?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.
★★★ (17)
?xsinxcosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
11111xsin2xdx?xd(?cos2x)??xcos2x?cos2xdx ??22?244?1111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C.
484822x★★(18)xcosdx ?2x1?cosx思路：先将cos2降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺
22解：xsinxcosxdx?序凑微分即可。
解：xcos?22x1111dx??(x2?x2cosx)dx??x2dx??x2cosxdx 222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622
13121312?x?xsinx??xdcosx?x?xsinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 62★★(19)
?(x22?1)sin2xdx
思路：分项后对第一个积分分部积分。
解：(x?1)sin2xdx?xsin2xdx?sin2xdx?xd(?cos2x)???2??2121cos2x 211111??x2cos2x??2xcos2xdx?cos2x??x2cos2x??xdsin2x2222211111?cos2x??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx?cos2x22222
12111??xcos2x?xsin2x?cos2x?cos2x?C224211313x??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C??(xsin2x?)cos2x?sin2x?C.224222★★★(20)
xe?dx
3思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2dt,
21
??exdx??et3t2dt?3?ett2dt?3?t2det?3t2et?3?2tetdt?3t2et?3?2tdet?3t2et?6ett?6?etdt?3t2et?6ett?6et?C ?33x2e★★★(21)
33x?6e3x3x?6e3x?C?3ex(3x2?23x?2)?C.3?(arcsinx)dx
222思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：(arcsinx)dx?x(arcsinx)?x???2arcsinx1?x2dx
?x(arcsinx)2??arcsinx1?x2d(1?x2)?x(arcsinx)2?2?arcsinxd(1?x2)
?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C.★★★(22)
?exsin2xdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：
x22xx2xesinxdx?sinxde?esinx?e???2sinxcosxdx
?exsin2x??exsin2xdx??esin2xdx??sin2xde?esin2x??e2cos2xdx?esin2x?2?cos2xdexxxxxx
?exsin2x?2excos2x?4?exsin2xdxex(sin2x?2cos2x) ??esin2xdx??C5exx2??esinxdx?(5sin2x?sin2x?2cos2x)?C5x方法二： esinxdx?e?x2?x1?cos2x1111dx??exdx??excos2xdx?ex??excos2xdx 22222??excos2xdx??cos2xdex?excos2x??ex2sin2xdx?excos2x?2?sin2xdex
?excos2x?2exsin2x?4?excos2xdxex(cos2x?2sin2x) ??ecos2xdx??C5ex1x1x2??esinxdx??esin2x?excos2x?C2510x 22
★★★(23)
?ln(1?x)xdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：
ln(1?x)2xdx?ln(1?x)d(2x)=2xln(1?x)??x??1?xdx
令t?x，则dx?2tdt,
2xt21??dx?4?dt?4dt?4??1?t2dt?4t?4arctant?C
1?x1?t2?4x?4arctanx?C所以原积分
?ln(1?x)xdx?2xln(1?x)?4x?4arctanx?C。
ln(1?ex)★★★(24)?exdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln(1?ex)exx?x?xx?x解：?dx??ln(1?e)d(?e)??eln(1?e)??edx
ex1?exe?x1?xx??eln(1?e)??dx??eln(1?e)?d(1?e?x)?x?x? 1?e1?e??e?xln(1?ex)?ln(1?e?x)?C.?xx1。 ?1?exdx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）
1?x★★★(25)xln?1?xdx
注：该题中
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xln?1?x1?x12121?x121?x1?x?1?xdx??lnd(x)?xln??x?dx 21?x1?x221?x21?x(1?x)121?xx2121?x1?xln??dx?xln?dx?dx22??21?x1?x21?x1?x 11?x11111?x1?x2ln?x??(?)dx?x2ln?x???ln(1?x)?ln(1?x)?21?x21?x1?x21?x2121?x11?x11?xxln?x?ln?C?(x2?1)ln?x?C 21?x21?x21?x1?x注： 该题也可以化为 ?xlndx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx再利用分部积分法计算。
1?x? 23
1?xx2?xln1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx??[ln(1?x)?ln(1?x)]d2 x21?xx211x21?xx2 ?ln???[?]dx?ln??dx 221?x21?x1?x21?x1?xx21?x1?x2?1x21?x111 ? xln??dx?ln?dx?[?]d2??21?x1?x21?x2?1x?1xx21?x11?x ?ln?x?ln?C
21?x2?1x★★★(26)
dx?sin2xcosx
dxsec2xdxdtanxdx思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。 ??2sinx2sinxsin2xcosx2sinxcos2xdxdxsec2xdxdtanx解：? ????2??sin2xcosx2sinx2sinx2sinxcosxtanx1tanx1??tanx(?cscxcotx)dx???cscxdx2sinx22sinx2
1?(secx?lncscx?cotx)?C.2?2、 用列表法求下列不定积分。
知识点：仍是分部积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍
然用一般方法解出，不用列表法。
★(1)
3xxe?dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedx?xd(e)?★(2)
x(x?1)edx ??3x?133x13x13x1111xe??edx?xe3x??e3xd3x?(x?)e3x?C. 333933思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：(x?1)edx?(x?1)de?(x?1)e?edx?xe?C。
★(3)
?x?xx?xx?x?2cosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xcosxdx?2222xdsinx?xsinx?2xsinxdx?xsinx?2?xdcosx ?? 24
?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx?x2sinx?2xcosx?2sinx?C
★(4)
2?x(x?1)edx ?思路：分项后分部积分即可。 解：(x?1)edx??2?x?xe2?xdx??e?xdx??x2d(?e?x)??e?xdx
??e?xx2?2?xe?xdx??e?xdx??e?xx2?2?xd(?e?x)??e?xdx??ex?2xe?x2?x?2?edx??edx??ex?2xe?x?x?x2?x?3?edx?x??e?x(x2?2x?3)?C.
★(5)
?xln(x?1)dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
12121x2解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d(x)?xln(x?1)-?dx
222x?1?12111111xln(x?1)??(x?1?)dx?x2ln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C. 22x?12422?xe?cosxdx
★(6)
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?e??xcosxdx??cosxd(?e?x)??e?xcosx??e?xsinxdx
??e?xcosx??sinxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdxe?x??ecosxdx?(sinx?cosx)?C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。
x?x
知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。
思路分析：积分 xf?(x)dx中出现了f?(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你
是
?sinxxf(x)的原函数，应该知道?f(x)dx?sinx?C. x解：?xf?(x)dx?又???xd(f(x))=xf(x)??f(x)dx
sinxxcosx?sinxxcosx?sinx?C,?f(x)?,?xf(x)?; 2?xxxxcosx?sinxsinx2??xf?(x)dx???C?cosx?sinx?C
xxxf(x)dx?★★4、已知
exf(x)=x，求
?xf??(x)dx。
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不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
