知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积
函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：
又点(e2d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1，
所以曲线的方程为
f(x)?ln|x|?1.
★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是3tt2(m/s)，问：
（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的
关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)，
则由速度和位移的关系可得：
d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dtf(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。
又因为物体是由静止开始运动的，?(1)
3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米；
3(2)令t?360?t?3360秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5
1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）
3te?dt
6
思路:凑微分。 解：e3tdt??13t13ted(3t)?e?C 3?33★(2)
?(3?5x)dx
3思路:凑微分。
311解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??(3?5x)4?C
5201★(3)?3?2xdx
思路:凑微分。 解：
1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x?23?2x2★(4)
?135?3xdx
思路:凑微分。
12?11111dx???3d(5?3x)???(5?3x)3d(5?3x)??(5?3x)3?C. 解：?335?3x325?3x★(5)
?(sinax?exb)dx
思路:凑微分。
1x1解：?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C
aba★★(6)
xbxx?costtdt
思路:如果你能看到d(t)?12tdt，凑出d(t)易解。
解：
?costtdt?2?costd(t)?2sint?C
★(7)
102tanxsecxdx ?思路:凑微分。 解：tan★★(8)
?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
7
解：
dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C
2?tan1?x★★(9)
xdx1?x2
思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！
解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C
★★(10)
dx?sinxcosx
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。
dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C
方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C
方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。
22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx
??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C
★★(11)
dx?ex?e?x
。
dxexdxdexdex???思路:凑微分：xe?e?xe2x?11?e2x1?(ex)2dxexdxdexx???arctane?C 解：?x?x2xx2??e?ee?11?(e)★(12)
2xcos(x)dx ?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)
?21122cosxdx?sinx2?C ?22?xdx2?3x2 8
思路:由1dx21d(2?3x2)???凑微分易解。 22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)112??????(2?3x)2d(2?3x2)??2?3x2?C
6632?3x22?3x2解：
?xdx★★(14)
?cos2(?t)sin(?t)dt
思路:凑微分。
解：cos2(?t)sin(?t)dt??1?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)
??1cos3(?t)?C. 3?3x3★★(15)?1?x4dx
思路:凑微分。
3x334x331313444解：dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)
sinx?cos3xdx
思路:凑微分。 解：
sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)
?x92?xx920dx
思路:经过两步凑微分即可。 解：
?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x10d)2x101x10?arcsin()?C 21022★★(18)
?1?x9?4x2dx
思路:分项后分别凑微分即可。 解：
?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx
9
12x11d??d4x222x2389?4x1?（）3112x11 ??d??d（9?4x2）222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)
12?dx?2x2?1
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx
??122122?(?11?)d2x2x?12x?11111d(2x?1)?d(2x?1)?ln?2x?1222x?1222x?1?C.2x?1
★(20)
xdx?(4?5x)2
思路:分项后分别凑微分即可。 解：
xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.
25?4?5x25?(4?5x)225254?5x?x2dx★(21)?(x?1)100
思路:分项后分别凑微分即可。
x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1??(?2?)dx 解：?100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1)
(x?1)98(x?1)99(x?1)100111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 10
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
