三角函数
一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L,r其中r是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正
yxyx,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数sec
rrxyrrα=,余割函数cscα=.
xy111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
cot?csc?sec?sin?cos?,cot??商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=coscos?sin?弦函数sinα=
α；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin?cos???????=cosα, ?2???????。 ???=sinα, tan????=cotα（奇变偶不变，符号看象限）
?2??2?定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间
?3??????上为增函数，在区间2k??,2k??2k??,2k????上为减函数，最小正周期???2222??????为2?. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-时, y
22?取最小值-1。对称性：直线x=k?+均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心，值域为
2[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??????,0?均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y2?取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+
函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+
???)在开区间(kπ-, kπ+)上为增222?2，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ; tan(α?β)=
1
(tan??tan?).
(1?tan?tan?)
定理7 和差化积与积化和差公式:
?????????????????????cos??,sinα-sinβ=2sin??cos??,
?2??2??2??2?????????????????????cosα+cosβ=2cos??cos??, cosα-cosβ=-2sin??sin??,
2222????????11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
22sinα+sinβ=2sin?定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
2tan?. 2(1?tan?)(1?cos?)(1?cos?)??????,cos??=?, ?=?22?2??2?sin?(1?cos?)(1?cos?)???tan??=?=?.
sin?(1?cos?)(1?cos?)?2???????1?tan2??2tan???2?, ?2?, cos??定理10 万能公式: sin????????1?tan2??1?tan2???2??2????2tan???2?.
tan?????1?tan2???2?定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,
ba定理9 半角公式:sin?b)的一个角为β，则sinβ=
a?b22,cosβ=
a?b22，对任意的角α.
22asinα+bcosα=(a?b)sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
abc???2R，其中a, b, c分别是sinAsinBsinC角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+?)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
1?，得到y=sin?x(??0)
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asin?x的图象。
??2
高中数学竞赛讲义_三角函数
