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蒋殿春《高级微观经济学》
第2章 利润最大化
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??x2，?,??0，????1，A?0。 1．对于Cobb-Douglas生产函数：y?Ax1（1）验证：仅在参数条件????1下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；
（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y）； （3）求利润函数；
（4）验证利润函数是?p,w1,w2?的一次齐次函数； （5）验证Hotelling引理。
??x2，利润最大化的二阶条件是生产函数的解：（1）Cobb-Douglas生产函数为y?Ax1Hessian矩阵是半负定的，即：
?????1?y?2x1D2f???????xxy12?2??x1x2?中，????1?y?0，????1?y?0
2x12x2????1??y?2?x2???yy2y222?????1????1?????且矩阵的行列式非负，Df?22???x2x2???1??????0 x1x2?12所以，????1。
（2）利润最大化问题的一阶必要条件是： ?py?py??1???1w1??pAx1x2??，w2??pAx1?x2
x1x2所以要素需求函数为x1?p,w???pyw1，x2?p,w???pyw2?。
?????py???py??????p???p?将要素需求函数代入生产函数y?Ax1x2?A??Ay???????，解
wwww?1??2??1??2???得产品供给函数为y??p,w??A（3）利润函数为：
11??????p????w1??1??????p????w2??1????。
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??p,w1,w2??py?p,w??w1x1?p,w??w2x2?p,w??py?p,w???py?p,w???py?p,w?11????
将y??p,w??A??p????w1??1??????p????w2??1????代入，得：
????p,w1,w2???1?????pA（4）由（3）知，利润函数为：
11??????p???w?1?1??????p???w?2?1????
??p,w1,w2???1?????pA11????????p????w1?1??????p????w2?1??????tp,tw1,tw2???1?????tpA?t?1?????pA?t??p,w1,w2?11????11????????tp???tw?1?1??????tp???tw?2?1????????p????w1?1??????p????tw2?1????
因此，利润函数是?p,w1,w2?的一次齐次函数。 （5）利润函数??p,w1,w2???1?????pA1?11????????p????w1?1??????p????w2?1????中，p的幂次为
????1?y?p,w?。 ，且???p1????1????1??????其中一部分
???p????w1?w1?1??????p????1???????w1??1????1 w1?从而有，
?????pA?w1w111??????p????w1?1??????p????w2?1???????pyw1??x1。
同理，可验证
????x2。 ?w2
2．不利用包络定理，证明Hotelling引理。
证明：对任何的价格参数?p?,w??，p??0,w??0，令相应的产品供给和要素需求分别为y?和x?。现在如果价格变为?p,w?，而厂商没有相应地调整生产计划，仍然使用要素投入
x?，它将得到利润为?1?p,w??py??wx?。
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这当然不一定是厂商此时能获得的最大利润??p,w?，因为后者是根据价格??p,w?对生产计划进行了最适调整后得到的。若将这两个利润水平的差定义为一个新的函数：
??p,w????p,w???1?p,w?
已知??p,w??0。
假设x?是价格?p?,w??下的最优要素投入，从而??p?,w????1?p?,w??。所以，函数
??p,w?在?p?,w??取得最小值，它必将满足一阶必要条件
???p,w??wi?p?,w?????p,w??p?p?,w???0，
?0。
???1?p,w??p?p?,w??即
???p,w??p?p?,w???y?，
???p,w??wi?p?,w?????1?p,w??wi?p?,w????x?
由于?p?,w??为任意可取值，所以Hotelling引理得以证明。
3．厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为p的产品，生产函数
1/323为f?x1,x2??x1x2，要素1和2的价格分别为w1和w2。
（1）求厂商的短期可变要素需求；
（2）求厂商的短期利润函数。
1/323x2?w1x1?w2x2，转化为利润最大化问题，即： 解：（1）厂商的利润函数为px11/323max?pxx2??w1x1?w2x2??1?? x1利润最大化的一阶条件为：
1?2323px1x2?w1?0 3?p?解得x1????3w1?32x2，这就是厂商的短期可变要素需求。
（2）厂商的短期利润函数为：
?p?1/32/3?p???x2??p??x2x2?w1???3w1??3w1?1232?2?p?12?x2?w2x2??p??w?2?x2
33w???1???
4．某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是
2y12?y2?x?0
试求该厂商的要素需求和产品供给。
解：由题意可得：
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max?p1x1?p2x2?wx?
y1,y2,x2s..ty12?y2?x?0
2将约束方程改写为y12?y2?x，代入目标函数，可整理为一个无约束的最大值问题，其
一阶必要条件为pi?2wyi?0，i?1,2，解得要素供给函数为yi?2p12?p2素需求函数为x?y?y?。
4w22122pi，i?1,2，从而得到要2w
5．一个多产品市场厂商的生产函数是g?y,x??0，对其利润最大化问题（2.32）， （1）写出角点解的一阶必要条件； （2）写出内点解的二阶必要条件。 解：（1）考虑角点解可以列出下列式子：
max?py?wx?
x,ys..tg?y,x??0
构造拉格朗日函数：L?py?wx??g?y,x????ixi
i?1n一阶必要条件：在最优点?y?,x??，存在??及?i??0?i?1,2,...n?，使得：
???gy,x??????0i?1,2,...n ?L??wi?????i?xi?xi?g?y?,x???L??pi???0?i?1,2,...k? ?yi?yi?L??g?y?,x???0 ??并且满足?i?xi??0?i?1,2,...n?。
（2）不考虑角点解，构造拉格朗日函数：
L?x,y,???py?wx??g?y,x?
内点解的二阶必要条件是：对任何满足Dg?y?,x??h?0的向量h，满足hTD2L?x?,y?,??h?0。
6．如果一个厂商的技术是规模收益递增的，产品价格和要素价格都保持不变。证明：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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这个厂商的利润或者是零，或者是无穷大。
证明：如果厂商生产技术是规模收益递增的，那么对于任何不为零的要素组合x?0和t?1，都有f?tx??tf?x?，从而：
??tx??pf?tx??w??tx??tf?x??w??tx??t??f?x??wx???t??x?
所以，只要存在x?0使得??x??0，厂商在投入组合x基础上扩大生产规模总可以提高利润，而且这种过程可以无休无止地延续下去，最终厂商获得的利润将是无穷大。除非，厂
商在任何投入水平x上的利润都是非正值（角点解），此时厂商只有接受零利润。
7．假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数y?f?x1,x2?是凹函数；产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和要素的价格。厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的钱只有B?0，这样它还受预算约束：
w1x1?w2x2?B （1）在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件。
（2）假设现存在另一种可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投入一单位要素2与一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价格：w3?w2，不过厂商使用要素3不受预算约束的限制——我们可以想象要素3的销售商允许赊账。在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时厂商对三种要素的最优需求条件。
解：（1）厂商面对的问题是：
max??pf?x1,x2???w1x1?w2x2???
x1,x2s..tw1x1?w2x2?B?0
如果约束是不束紧的，资金B足够厂商购买它达到利润最大化所需的要素量，问题变为一个无约束的标准利润最大化问题。现假设约束是束紧的，这样问题就演化为一个等式约束问题。
构造拉格朗日函数：
L?pf?x1,x2???w1x1?w2x2????w1x1?w2x2?B?
利润最大化的一阶必要条件是：
?f?x1,x2??L?p??1???wi?0 ?xi?xi?L???w1x1?w2x2?B??0 ??第一个条件可以改写为wi?第一个条件得，fi?p?f1x1?f2x2?pfi，代入第二个条件，解得???1，再代入
B1??f1x1?f2x2wi，i?1,2。 B（2）在可用资金约束不束紧的情况下，厂商必然不会使用要素3。下面假设该约束是束紧的，由于要素3与要素2是完全替代的，生产函数可以写为：
g?x1,x2,x3??f?x1,x2?x3?
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厂商此时面对的问题变为：
x1,x2，x3max??pf?x1,x2?x3???w1x1?w2x2?w3x3???
s..tw1x1?w2x2?B?0
构造拉格朗日函数：
L?pf?x1,x2?x3???w1x1?w2x2?w3x3????w1x1?w2x2?B?
利润最大化的一阶必要条件是：
?L?pfi??1???wi?0，i?1,2 ?xi?L?pf2?w3?0 ?x3?L???w1x1?w2x2?B??0 ??由此可得到：w3??1???w2?f1x1?f2x2w2。 Bw3fx?f2x2w3w1，pf2?w3，11? w2Bw2从而，厂商对三种要素的最优需求条件分别为：
pf1?
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