大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数:
?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 (3)分段函数: *F(x)??; *F(x)??;* ,,x?xf(x)x?xa0?2?0 (4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x) (5)隐式(方程): F(x,y)?0
?x?x(t) (6)参式(数一,二): ?
y?y(t)? (7)变限积分函数: F(x)??xaf(x,t)dt
(8)级数和函数(数一,三): S(x)? 2. 特征(几何):
?axnn?0?n,x??
(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质:
? 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0)
?1(y)?y?f?1(x)
n??x??x?x0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:
0??,,1,???,0??,00,?0 0? 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:
an(b,, c, ) n?1, a(a?0)?1, (a?b?c)?maxa?a?0??0
n!nn1n1n1nn 1
xnlnnx1x0 lim?0, x?1, limx?, (x?0)??, limx???x???x?0?exxxlnx? lim?x?0n, 0 ex???0x??? ,???x???四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, sinux()ux(; ) tanu(x) eu(x)u(x); 1?cosu(x)12u(x); 2?1u(x); ln(1?u(x))u(x); (1?u(x))??1?u(x);
arcsiunx()ux; ( arctanu(x) 2. 泰勒公式:
u(x)
12x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x);
2134 (3)sinx?x?x?o(x);
3!12145 (4)cosx?1?x?x?o(x);
2!4!?(??1)2? (5)(1?x)?1??x?x?o(x2).
2! (1)e?1?x?x五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小(0??1,1,?M(其它如:???,0??,00,?0); (2)变量代换(如:?t) 0?x?), ?1?1,x??) x 2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin? 3. 1处理(其它如:0,?)
00 4. 左右极限(包括x???):
11x (1)(x?0); (2)e(x??); ex(x?0); (3)分段函数: x, [x], maxf(x)
x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(
0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim)
x?1x?001?x1?x2
11111? (2)幂指型处理: u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)(如: ex?1?ex?ex(ex?1x?1))
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)?limn??F(x,n)(?分段函数)
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)an?f(n)?xlim???f(x)
(2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?
(3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f'(x)?0?
2. 导数定义(洛必达?): limfx?0x?fx'0( ) 3. 积分和: l11n??imnf[1n(?)f2n(?)?fnn(??)0]fxd(, x) 4. 中值定理: xlim[???f(x?a)?f(x)]?axlim???f'(?)
5. 级数和(数一三):
?? (1)?a2nn!n收敛?limnan?0, (如limn??nn) (2)lim(n??a1?a2??an)?n?1???an,
n?1 (3){an}与
??(an?an?1)同敛散
n?1七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)kxn,(x?0)?
(1)f(0)?f'(0)??f(n?1)(0)?0,f(n)(0)?a?f(x)?axn??(xn)an!n!xn (2)
?x0f(t)dt?xn0ktdt
2. 渐近线(含斜):
(1)a?limf(x)x??x,b?lim[x??f(x)?ax]?f(x)ax?b??
(2)f(x)?ax?b??,(1x?0)
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性) 八. [a,b]上连续函数性质
3
1. 连通性: f([a,b])?[m,M] (注:?0???1, “平均”值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0)) 2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数); (2)f(x)?0?(?xaf(x)dx)'?0.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数: f'(x)?limx?0f(x)?f(x0)f(x?x)?f(x); f'(x0)?lim
x?x0x?x0x (1)f'(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x) (注:lim?A(f连续)?f(0)?0,f'(0)?A)
x?0xx'' (2)左右导: f?(x0),f?(x0);
(3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导数:
f?f(x?x)?f(x)?f'(x)x?o(x)?df?f'(x)dx
(1)可微?可导; (2)比较?f,df与\的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x))')
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤):
dx1? dyy' 1. 定义导: (1)f'(a)与f'(x)x?a; (2)分段函数左右导; (3)limh?0f(x?h)?f(x?h)
h?F(x)x?x0 (注: f(x)??, 求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的连续性) ,x?xa?0 2. 初等导(公式加法则):
(1)u?f[g(x)], 求:u'(x0)(图形题); (2)F(x)? (3)y???xaf(t)dt, 求:F'(x) (注: (?f(x,t)dt)',(?f(x,t)dt)',(?f(t)dt)')
aaaxbb?f1(x)x?x0'',,求f?(x0),f?(x0)及f'(x0) (待定系数)
?f2(x)x?x0 4
dyd2y, 3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2 (1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
?x?x(t)dyd2y,2 4. 参式导(数一,二): ?, 求:
dxdx?y?y(t) 5. 高阶导f (e)ax(n)(n)(x)公式:
1(n)bnn!)??ae; (; a?bx(a?bx)n?1nax (sinax)(n)?ansin(ax??2?n); (cosax)(n)?ancos(ax?
n?2?n)
(n)(n)1(n?1)2(n?2)v'?Cnuv\? (uv)?uv?Cnu 注: f(n)(0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2??anx?f(n)(0)?an?
n!四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率?速度; 3. 曲率(数一二): ??f\x)(1?f'(x))23(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f'(x0)?0): (1) f'(x)?0?f(x) (2)分段函数的单调性
(3)f'(x)?0?零点唯一; f\x)?0?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:
(1)表格(f'(x)变号); (由lim; f'(x)?0?f(x);
x?x0f'(x)f'(x)f''(x)?0,lim?0,lim?0?x?0的特点) 2x?xx?x00xxx (2)二阶导(f'(x0)?0)
注(1)f与f',f\的匹配(f'图形中包含的信息);
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