地球物理学中的反演问题
1、介绍
物理科学的一个重要的方面是根据数据对物理参数做出推断。通常，物理定律提供了计算给定模型的数据值的方法，这就被称为“正演问题”，见图-1。在反演问题中，我们的目标是根据一组测量值重建物理模型。在理想情况下，存在一个确定的理论规定了这些数据应该怎样转换从而重现该模型。从选择的一些例子来看，这样一个存在的理论假定了（我们）所需要的无限的、无噪声的数据是可以获得的。在一个空间维度中，当所有能量的反射系数已知时，量子力学势能可以被重建[Marchenko,1955; Brurridge,1980]。这种手法可以推广到三维空间[Newton,1989]，但是在那样的情形下要求有多余数据组，其中的原因并不是很理解。在一条一维的线上的质量密度可以通过对它的所有本征频率的测量来构建[Borg,1946]，但是因为这个问题的对称性，因而只有偶数部分的质量密度可以被确定。如果（地下的）地震波速只和深度有关，那么根据地震波的距离，运用阿贝尔变换，这个速度可以通过测定震波的抵达时间来精确构建[Herglotz,1907;Wiechert,1907]。从数学上看，这个问题和构建三维空间中的球对称量子力学势是相同的[Keller et al.,1956]。然而，当波速随着深度单调增加时，Herglotz-Wiechert的构建法只能给出唯一解[Gerver and Markushevitch,1966]。这种情况和量子力学是相似的，在量子力学中，当电势没有局部最小值时，径向对称势只能被唯一建立[Sabatier,1973]。（量子力学相关概念不熟悉，翻译起来有点坑~~）
图-1
尽管精确非线性反演法在数学表达上是美妙的，但它们的适用性是有限的。原因有很多。第一，精确的反演法通常只在理想状态下适用，这在实际中可能无法保持。比如，Herglotz-Wiechert反演假定了地下的波速只依赖于深度并且随着深度单调增加。地震层析成像显示这两点要求在地幔层都不满足[Nolet et al.,1994]。第二，精确反演方法常常很不稳定。Dorren et al[1994]已经清楚地展示了Marchenko方程解中这种不稳定性的存在。然而，第三个原因是最根本的。在很多反演问题中，我们要确定的模型是空间变量的一个连续函数。这意味着该模型有无穷多的自由度。然而，在实际实验中，能够用来确定模型的数据数量通常都是有限的。通过变量的简单计算表明这些数据不能承担足够的信息来唯一确定模型。在线性反演问题的背景下，Backus 和 Gilbert[1967,1968]提出了这一观点，之后Parker[1994]也提出来这点。这个问题对于非线性反演问题同样相关。
在实际实验中有限多的数据可以用来重建具有无穷多自由度的模型这样的事实必然表明反演问题不是唯一的，在这个意义上讲，有很多模型同样可以很好地解释这些数据。因此，从数据反演中得到的模型不一定等于我们想要的真实模型。这意味着图1中展示的反演问题的观点太简单了。对于现实问题，反演实际
上包含两步。用m表示真实模型，d表示数据。由数据d我们得到一个估计的模
~，这一步称为估计问题（estimation problem），看图2。除了估计一个和型m~，我们也需要探究估计模型m~和真实模型m具有什么关系。数据一致的模型m在评价问题中，我们会确定估计模型获得了真实模型的哪些性质以及附带了哪些误差。这部分讨论的实质就是反演=估计+评价。当我们作出一个物理解释却不承认模型中存在误差的事实以及有限的精度，这是没有多少意义的 [Trampert, 1998]。
图-2
通常来说，有两个原因可以解释为什么估计模型跟真实模型不同。第一个原因是反演问题的非唯一性，这使得一些（通常是无穷多的）模型满足这些数据。从技术上来讲，这个模型因为模型空间的不充分取样所以零空间存在。第二个原因是实际数据（以及物理理论比我们想要的更频繁）总是受到误差的污染，所以估计模型也受到这些误差的污染。所以模型评价有两个方面，非唯一性和误差传播。
模型估计和模型评价对于具有有限自由度的离散模型和具有无穷多自由度的连续模型在根本上是不同的。而且，模型评价的问题只有在线性反演问题上得
地球物理学中的反演问题
