全国中考数学压轴题精选1
1.（胡文2021年福建莆田）26．（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x??2b） 2a
（胡文2021年福建莆田26题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??213121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，
1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?
?16a?4b?4?0?b?1?3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB
DQCDDQ210 即??,DQ?
ABCA57710252525所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t? ?1?777725所以t的值是
7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO
10QEDQDEQEDE 即 ???7?BOABAO45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)
8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2所以直线AQ的解析式为y? x? 联立?8244141?y?x???41411?x??128?2) 由此得? 所以M(,824241?y?x???4141则：在对称轴上存在点M(
128,)，使MQ+MC的值最小。 241
2.（胡文2021年甘肃白银等9市）28．（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直．．线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是
__________； (2) 当t=秒或秒时，MN=
1AC； 2(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
图20
（胡文2021年甘肃白银等9市28题解析）28． 本小题满分12分
解：(1)（4，0），（0，3）； ······································································ 2分 (2) 2，6； ·························································································· 4分 (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得∴ON=
OMON， ?OAOC33······························· 6分 t，S=t2． ·
48当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，∴AD= t-4． 方法一：
33······················· 7分 (t?4)，∴BM=6-t． ·
444由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴CN=t-4． ······························ 8分
3由△DAM∽△AOC，可得AM=
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
3133（6-t）-(t?4) (t?4)-（8-t）
22423=?t2?3t． ·············································································· 10分
8=12-方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴CN=AD=t-4，BN=8-t． ······························ 7分 由△BMN∽△BAC，可得BM=
333BN=6-t，∴ AM=(t?4)．8分 444
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